பகுதி வரிசையுள்ள கணம்

கணிதத்தில், பகுதி வரிசையுள்ள கணம் (Partially ordered set) என்பது, அதன் சில சோடி உறுப்புகளில், அவற்றிலுள்ள இரு உறுப்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று ஒப்பிடத்தக்கனவாய் கொண்ட கணத்தைக் குறிக்கும். அதாவது பகுதி வரிசை கணத்தின் உறுப்புகளின் சில சோடிகளில், இரண்டில் எந்த உறுப்பு முந்தையதாகவும் எந்த உறுப்பு அடுத்ததாகவும் அமையும் என ஒப்பிட்டு, அதன்படி வரிசைப்படுத்த முடியும். "பகுதி" என்பது, அக் கணத்தில் எல்லாச் சோடிகளும் இவ்வாறாக ஒப்பிடத்தக்கனவாக இருக்கவேண்டியதில்லை என்பதை, குறிக்கிறது; அதாவது ஒப்பிட்டுக் கூறமுடியாத உறுப்புகளைக் கொண்ட சோடிகளும் அக்கணத்தில் இருக்கலாம்.. பகுதி வரிசையின் பொதுமைப்படுத்தலாக, முழு வரிசை அமைகிறது. முழு வரிசையுள்ள கணங்களில் அனைத்து சோடி உறுப்புகளும் ஒப்பிடத்தக்கவையாக இருக்கும்.

படிமம்:Hasse diagram of powerset of 3.svg

படம் 1: $\{x,y,z\},$ கணத்தின் அனைத்து உட்கணங்களின் கணமானது உள்ளடங்கலைக் கொண்டு வரிசைப்படுத்தப்பட்டுள்ள வரைபடம். மேல்நோக்குப் பாதையால் இணைக்கப்பட்டுள்ள உட்கணச் சோடிகள் ஒப்பிடத்தக்கவை (எ. கா: $\mathrm{\varnothing }$,$\{x,y\}$); மற்றவை ஒப்பிட முடியாதவை (எ. கா: $\{x\}$, $\{y\}$)

பகுதி வரிசை என்பது, எதிர்வு உறவு, எதிர்சமச்சீர் உறவு, கடப்பு உறவு ஆகிய மூன்று பண்புகளையுமுடையதொரு சீரான ஈருறுப்பு உறவாகும்.

பகுதி வரிசை கணம் என்பது, ஒரு கணம் $X$, அக்கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு பகுதிவரிசை $\le$ இரண்டும் கொண்ட ஒரு வரிசைச் சோடியாகும். அதாவது, பகுதி வரிசை கணம் $P$ எனில்:

$P=(X,\le )$

பகுதி வரிசையானது தெளிவானதாக அமையும் சூழலில், $X$ கணம் மட்டுமே பகுதிவரிசை கணமாக அழைக்கப்படுவதுமுண்டு.

பகுதி வரிசை உறவுகள்

பகுதி வரிசை என்ற பெயர் வழக்கமாக, எதிர்வு உறவு பகுதி வரிசை உறவுகளையே குறிக்கும். இக்கட்டுரையில் எதிர்வு உறவு பகுதி வரிசை உறவுகள், "கண்டிப்பற்ற" பகுதி வரிசை எனக் குறிப்பிடப்படுகின்றன. எனினும் சில நூலாசிரியர்கள் "கண்டிப்பான பகுதி வரிசை எனப்படும் எதிர்வற்ற பகுதி வரிசை உறவுகளையும் இதே பெயரால் குறிப்பிடுகின்றனர்.கண்டிப்பான பகுதி வரிசைகளையும் கண்டிப்பற்ற பகுதி வரிசைகளையும் Strict and non-strict partial orders can be put into a இருவழிக் கோப்பால் தொடர்பு படுத்தலாம். எனவே ஒவ்வொரு கண்டிப்பான பகுதி வரிசைக்கும் ஒரு தனித்த கண்டிப்பற்ற பகுதி வரிசை இருக்கும்; இதன் மறுதலையும் உண்மையாக இருக்கும்.

பகுதி வரிசைகள்

ஒரு "வலுவிலா," எதிர்வு, அல்லது கண்டிப்பற்ற பகுதி வரிசையானது, பொதுவாக பகுதி வரிசை என்று சுருக்கமாக அழைக்கப்படுகிறது. இது, எதிர்வு உறவு, எதிர்சமச்சீர் உறவு, கடப்பு உறவு ஆகிய மூன்று பண்புகளையுமுடையதொரு சீரான ஈருறுப்பு உறவாகும். அதாவது,

கணம் $P$ இல் அமைந்த '≤' என்ற சீரான ஈருறுப்பு உறவு, பகுதி வரிசையாக இருந்தால் பின்வரும் முடிவுகளை நிறைவு செய்யும்:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in P,$

1. எதிர்வு உறவு: $a\le a$, அ.து ஒவ்வொரு உறுப்பும் தனக்குத்தானே தொடர்புடையது
2. எதிர்சமச்சீர் உறவு: $a\le b,$ $b\le a$ எனில், $a=b$, அ.து. எந்த இரு வேறுபட்ட உறுப்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று முந்தைய உறுப்பாக இராது.
3. கடப்பு உறவு: $a\le b,$ $b\le c$ எனில், $a\le c$.

கண்டிப்பான பகுதி வரிசைகள்

எதிர்வற்ற, வலுவான, அல்லது கண்டிப்பான பகுதி வரிசை (எதிர்வற்ற பகுதி வரிசை)யானது,கடப்பு உறவு, எதிர்வற்ற உறவு, சமச்சீரற்ற உறவு ஆகிய மூன்று பண்புகளையும் கொண்டதொரு சீரான ஈருறுப்பு உறவாகும். கணம் $P$ இல் அமைந்த '<' என்ற சீரான ஈருறுப்பு உறவு, எதிர்வற்ற பகுதி வரிசையாக இருந்தால் பின்வரும் முடிவுகளை நிறைவு செய்யும்:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in P,$

1. கடப்பு உறவு: if $a<b,$ $b<c$ எனில், $a<c$.
2. எதிர்வற்ற உறவு: $\mathrm{\neg }(a<a)$, அ.து ஒவ்வொரு உறுப்பும் தனக்குத்தானே தொடர்புடையதல்ல.
3. சமச்சீரற்ற உறவு: $a<b$ எனில், $b<a$ ஆக இருக்காது.

எதிர்வற்றதாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" ஒரு கடப்பு உறவானது சமச்சீரற்றதாகும். எனவே, மேலுள்ள வரையறையில் எதிர்வற்றமை அல்லது சமச்சீரின்மை ஆகிய இரண்டில் ஏதேனுமொன்று (இரண்டுமல்ல) விடுபட்டாலும் கூட வரையறை பொருத்தமானதாக இருக்கும்.

கண்டிப்பான, கண்டிப்பற்ற பகுதி வரிசை உறவுகளுக்கு இடையேயான தொடர்பு

படிமம்:PartialOrders redundencies svg.svg

படம் 2: கண்டிப்பான/கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசைகளுக்கும் அவற்றின் இருமங்களுக்கு இடையிலான தொடர்புகளை விளக்கும் பரிமாற்று வரைபடம். படத்தில் எதிர்வு அடைப்பு (cls), எதிர்வற்றது (ker), மறுதலை (cnv) உறவுகள் இணைப்பாகப் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. ஒவ்வொரு உறவின், பகுதிவரிசை கணத்திற்கான தருக்க அணி தரப்பட்டுள்ளது. மையத்தில் பகுதி வரிசை கணத்தின் வரைபடம் உள்ளது.

கணம் $P$ இன் மீது வரையறுக்கப்பட்டக் கண்டிப்பான பகுதி வரிசைகளும், கண்டிப்பற்ற பகுதி வரிசைகளும் நெருங்கிய தொடர்புடையவை.

கணம் $P$ இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட $\le$ என்ற கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசையிருந்து $a\le a$ என்றமையும் உறவுகளையெல்லால் நீக்கிவிடுவதன் மூலமாகக், கண்டிப்பான பகுதிவரிசையைப் பெறலாம்.

அதாவது கண்டிப்பான பகுதிவரிசையானது கீழ்வரும் கணமாகும்:

$<:=\le \setminus {\mathrm{\Delta }}_P;$

இதில், ${\mathrm{\Delta }}_P:=\{(p,p):p\in P\}$என்பது $P\times P$ இன் முற்றொருமை உறவையும்; $\setminus$ என்பது கண வேறுப்பாட்டையும் குறிக்கின்றன.

மறுதலையாக,

கணம் $P$ இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட $<$ என்ற கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசையோடு $a\le a$ என்றமையும் உறவுகளையெல்லால் இணைப்பதன் மூலம் கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசையைப் பெறலாம்.

அதாவது கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசையானது கீழ்வரும் கணமாகும்:

$\le :={\mathrm{\Delta }}_P\cup <$

எனவே,

$\le$ என்பது கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசையெனில், அதற்குரிய கண்டிப்பான பகுதிவரிசை $<$யானது கீழ்வரும் எதிர்வு உறவு ஆகும்:

$$a<b\text{ if }a\le b\text{ and }a\ne b.$$

மறுதலையாக,

$<$ என்ற கண்டிப்பான பகுதிவரிசைக்குரிய கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசை $\le$ கீழ்வரும் எதிர்வு அடைப்பு உறவு ஆகும்:

$$a\le b\text{ if }a<b\text{ or }a=b.$$

இரும வரிசைகள்

$R$ என்ற பகுதிவரிசை உறவின் இரும வரிசை (அல்லது எதிர் வரிசை) $R^{\text{op}}$ என்பது $R$ இன் மறுதலை உறவாக $R^{\text{op}}$ ஐ எடுத்துக்கொண்டு வரையறுக்கப்படுகிறது.

அதாவது,

$yRx$ உண்மையாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", $x{R}^{\text{op}}y$ என்பதும் உண்மையாக இருக்கும்.

கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசையின் இரும வரிசையும் ஒரு கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசையாகவே இருக்கும். அதேபோல் கண்டிப்பான பகுதிவரிசையின் இரும வரிசையும் ஒரு கண்டிப்பான பகுதிவரிசையாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

Division Relationship Up to 4

படம். 3: 1 - 4 எண்களின் வகுபடுதல் உறவின் வரைபடம். இக்கணம் முழுமையாக வரிசைப்படுத்தப்படவில்லை; பகுதியாக மட்டுமே வரிசைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. ஏனெனில், 1 இலிருந்து மற்ற எண்களுக்கு உறவு உள்ளது; 2லிருந்து 3, 3 இலிருந்து 4 இணைக்கப்படவில்லை.

படம் 4: எதிர்மமற்ற எண்கள், வகுபடுதல் உறவால் வரிசைப்படுத்தப்படுதலை விளக்கும் வரைபடம்

• வழக்கமான விடச்-சிறியது-அல்லது-சமம் (≤,) என்ற உறவினால் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மெய்யெண்களின் கணம் ($\mathbb{ℝ}$), பகுதிவரிசை கணமாகும்.
• மெய்யெண்களின் கணம் $\mathbb{ℝ}$ இல், வழக்கமான விடச் சிறியது (<) என்ற உறவு கண்டிப்பான பகுதி வரிசையாகும். அதேபோல, விடப் பெரியது (>) என்ற உறவும் $\mathbb{ℝ}$ இன் மீது கண்டிப்பான பகுதி வரிசையாகும்.
• எடுத்துக்கொள்ளப்படும் கணத்தின் எல்லா உட்களங்களும் கொண்ட கணம், உள்ளடங்கள் செயலால் வரிசைப்படுத்தப் படுகிறது (படம்: 1).
• இயல் எண்களின் கணம், வகுபடுதல் உறவால் வரிசைப்படுத்தப் படுகிறது (படம்:  3,  4)

வெளி இணைப்புகள்

• பொதுவகத்தில் | தொடர்பாக ஊடகக் கோப்புகள் விரைவில் வரும்... ; each of which shows an example for a partial order

• OEIS el=A001035 Number of partially ordered sets ("posets") with n labeled elements (or labeled acyclic transitive digraphs)
• OEIS el=A000112 Number of partially ordered sets ("posets") with n unlabeled elements.