imported>Booradleyp1: added Category:லியோனார்டு ஆய்லர் using HotCat

2024-06-24T04:47:44Z

added Category:லியோனார்டு ஆய்லர் using HotCat

புதிய பக்கம்

எண்கோட்பாட்டில் '''ஆய்லர் எண்'''கள் (''Euler numbers'') ''En'' என்பவை முழு எண்களில் அமைந்த ஒரு [[தொடர்வரிசை]] ({{OEIS|A122045}}) ஆகும். இவ்வெண்கள் பின்வரும் [[டெய்லர் தொடர்]] விரிவால் தரப்படுகின்றன:

:<math>\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_n}{n!} \cdot t^n\!</math>

இதில் cosh ''t'' என்பது [[அதிபரவளையச் சார்பு|அதிபரவளையச் கொசைன்]] சார்பாகும்.

ஒற்றைக் குறியெண் கொண்ட ஆய்லர் எண்கள் அனைத்தும் [[பூச்சியம்|பூச்சியமாகும்]]. இரட்டைக் குறியெண் கொண்ட ஆய்லர் எண்கள் ({{OEIS|id=A028296}}) ஒன்றுவிட்டு ஒன்று மாறுபட்ட குறியுடையவை:

:''E''0 = 1
:''E''2 = −1
:''E''4 = 5
:''E''6 = −61
:''E''8 = 1,385
:''E''10 = −50,521
:''E''12 = 2,702,765
:''E''14 = −199,360,981
:''E''16 = 19,391,512,145
:''E''18 = −2,404,879,675,441 .....

[[சீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்)|சீக்கெண்ட்]] மற்றும் [[அதிபரவளையச் சார்பு|அதிபரவளைய சீகெண்ட்]] சார்புகளின் டெய்லர் தொடர் விரிவுகளில் ஆய்லர் எண்கள் காணப்படுகின்றன.

==வாய்ப்பாடுகள்==
ஆய்லர் எண்களுக்கான சில வாய்ப்பாடுகள்:
*<math>E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1} \sum _{j=0}^k {k\choose j}\frac{(-1)^j(k-2j)^{2n+1}}{2^k i^k k}</math>

இங்கு ''i'' [[கற்பனை அலகு]]; ''i''2=−1.

*<math> E_{2n} = (2n)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq n}~ \left( \begin{array}{c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)
\delta_{n,\sum mk_m } \left( \frac{-1~}{2!} \right)^{k_1} \left( \frac{-1~}{4!} \right)^{k_2}
\cdots \left( \frac{-1~}{(2n)!} \right)^{k_n} ,</math><ref>{{cite journal|first1=David C.|last1= Vella|title=Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers|journal=Integers|volume=8|issue=1|pages=A1|year=2008|url= http://www.integers-ejcnt.org/vol8.html}}</ref>

*<math> E_{2n} = (-1)^{n-1} (2n-1)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq 2n-1}
\left( \begin{array} {c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)
\delta_{2n-1,\sum (2m-1)k_m } \left( \frac{-1~}{1!} \right)^{k_1} \left( \frac{1}{3!} \right)^{k_2}
\cdots \left( \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} \right)^{k_n} , </math><ref>{{cite arxiv|eprint=1103.1585|first1= J.|last1=Malenfant|title=Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers}}</ref>
:<math> K =k_1 + \cdots + k_n</math> மற்றும்
:<math> \left( \begin{array}{c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)
\equiv \frac{ K!}{k_1! \cdots k_n!}</math>
*<math>
\begin{align}
E_{2n} &=(-1)^n (2n)!~ \begin{vmatrix} \frac{1}{2!}& 1 &~& ~&~\\
\frac{1}{4!}& \frac{1}{2!} & 1 &~&~\\
\vdots & ~ & \ddots~~ &\ddots~~ & ~\\
\frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& ~&\frac{1}{2!} & 1\\
\frac{1}{(2n)!}&\frac{1}{(2n-2)!}& \cdots & \frac{1}{4!} & \frac{1}{2!}\end{vmatrix}.

\end{align}
</math>

* <math> |E_{2 n}| > 8 \sqrt { \frac{n}{\pi} } \left(\frac{4 n}{ \pi e}\right)^{2 n}. </math>

==மேற்கோள்கள்==
{{Reflist}}

==வெளி இணைப்புகள்==
* {{springer|title=Euler numbers|id=p/e036540}}
* {{MathWorld|urlname=EulerNumber|title=Euler number}}

[[பகுப்பு:எண் கோட்பாடு]]
[[பகுப்பு:குறிப்பிடத்தக்க எண் வகைகள்]]
[[பகுப்பு:முழுஎண் தொடர்வரிசைகள்]]
[[பகுப்பு:லியோனார்டு ஆய்லர்]]

ஆய்லர் எண் - திருத்த வரலாறு

imported>Booradleyp1: added Category:லியோனார்டு ஆய்லர் using HotCat