imported>Booradleyp1: /* பிறப்பிக்கும் சார்புகள் */

2024-06-14T05:44:21Z

பிறப்பிக்கும் சார்புகள்

புதிய பக்கம்

[[Image:HarmonicNumbers.svg|right|thumb|400px|இசை எண் <math>H_n</math> இன் அணுகு எல்லை <math>\gamma+\ln(x)</math> (நீலக்கோடு, <math>\gamma</math>-[[ஆய்லரின் மாறிலி]]); <math>n=\lfloor x \rfloor</math> (சிவப்புக்கோடு).]]

[[கணிதம்|கணிதத்தில்]], {{mvar|n}}-ஆவது '''இசை எண்''' (''harmonic number'') என்பது, முதல் {{mvar|n}} [[இயல் எண்]]களின் [[பெருக்கல் நேர்மாறு|தலைகீழிகளின்]] கூட்டுத்தொகையாகும்:
<math display="block">H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} =\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.</math>

{{math|1=''n'' = 1}}, இலிருந்து தொடங்கும் இசை எண்கள் தொடர்வரிசை::
<math display="block">1, \frac{3}{2}, \frac{11}{6}, \frac{25}{12}, \frac{137}{60}, \dots</math>

{{mvar|n}}-ஆவது இசை எண்ணானது, {{mvar|n}} நேர்ம முழுஎண்களின் இசைச் சராசரியின் தலைகீழியின் {{mvar|n}} மடங்காக இருக்கும்.

பழங்காலம் முதற்கொண்டு இசை எண்கள் ஆய்வு செய்யப்பட்டு வருகின்றன; [[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டின்]] பல பிரிவுகளில் இசை எண்கள் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவையாக உள்ளன. [[ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்|ரீமன் இசீட்டா சார்பியத்தோடு]] நெருங்கிய தொடர்புள்ளவை. மேலும், பல [[சிறப்பு சார்புகள்|சிறப்புச் சார்புகளின்]] கோவைவைகளில் இடம்பெற்றுள்ளன.

இசை எண்கள் தோராயமாக, [[இயல் மடக்கை]]ச் சார்பாக உள்ளன.<ref name=ConwayGuy/>{{rp|143}} இதனால், [[இசைத் தொடர் (கணிதம்)|இசைத் தொடரானது]] எல்லையின்றி மிகப்பெரியதாக, ஆனால் மெதுவாக அதிகரிக்கிறது.1737 இல் [[லியோனார்டு ஆய்லர்|ஆய்லர்]], இசைத் தொடரின் விரிதன்மைப் பயன்படுத்தி, [[யூக்ளிடின் தேற்றம்|பகாஎண்கள் முடிவற்றவை]] என்பதற்கு ஒரு புது நிறுவலை அளித்தார். ஆய்லரின் நிறுவல் 1859 இல் [[பேர்னாட் ரீமன்|ரீமானால்]] சிக்கலெண் தளத்திற்கும் நீட்டிக்கப்பட்டது. இதுவே பகா எண்களின் பரவல் குறித்த [[ரீமான் கருதுகோள்|ரீமான் கருதுகோளுக்கு]] வழியமைத்தது.

{{nowrap|<math>H_1=1</math>}} ஐத் தவிர வேறெந்த இசையெண்ணும் ஒரு [[முழு எண்]] அல்ல என்ற முடிவை "பெட்ரான்டின் எடுகோள்" தருகிறது<ref name = 'ConcreteMath'>{{Cite book
| first1 = Ronald L. | last1 = Graham
| first2 = Donald E. | last2 = Knuth
| first3 = Oren | last3 = Patashnik
| title = Concrete Mathematics
| year = 1994
| publisher = Addison-Wesley
| title-link = Concrete Mathematics
}}</ref>

{| class="wikitable infobox collapsible collapsed" style="line-height:0.8;text-align:left;white-space:nowrap;"
|+ முதல் 40 இசை எண்கள்
! rowspan="2" style="padding-top:1em;"|''n'' !! colspan="4"|இசை எண், ''Hn''
|-
! colspan="2"|பின்ன வடிவில் !! தசம வடிவில் !! சார் அளவு
|-
| style="text-align:right;"|1 || style="text-align:center;" colspan="2"|1 || {{bartable|1||20}}
|-

| style="text-align:right;"|2 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|3 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/2 || {{bartable|1.5||20}}
|-
| style="text-align:right;"|3 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|11 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/6 || ~{{bartable|1.83333||20}}
|-
| style="text-align:right;"|4 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|25 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/12 || ~{{bartable|2.08333||20}}
|-
| style="text-align:right;"|5 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|137 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/60 || ~{{bartable|2.28333||20}}
|-
| style="text-align:right;"|6 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|49 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/20 || {{bartable|2.45||20}}
|-
| style="text-align:right;"|7 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|363 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/140 || ~{{bartable|2.59286||20}}
|-
| style="text-align:right;"|8 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|761 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/280 || ~{{bartable|2.71786||20}}
|-
| style="text-align:right;"|9 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|7 129 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/2 520 || ~{{bartable|2.82897||20}}
|-
| style="text-align:right;"|10 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|7 381 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/2 520 || ~{{bartable|2.92897||20}}
|-
| style="text-align:right;"|11 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|83 711 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/27 720 || ~{{bartable|3.01988||20}}
|-
| style="text-align:right;"|12 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|86 021 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/27 720 || ~{{bartable|3.10321||20}}
|-
| style="text-align:right;"|13 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|1 145 993 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/360 360 || ~{{bartable|3.18013||20}}
|-
| style="text-align:right;"|14 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|1 171 733 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/360 360 || ~{{bartable|3.25156||20}}
|-
| style="text-align:right;"|15 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|1 195 757 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/360 360 || ~{{bartable|3.31823||20}}
|-
| style="text-align:right;"|16 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|2 436 559 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/720 720 || ~{{bartable|3.38073||20}}
|-
| style="text-align:right;"|17 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|42 142 223 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/12 252 240 || ~{{bartable|3.43955||20}}
|-
| style="text-align:right;"|18 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|14 274 301 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/4 084 080 || ~{{bartable|3.49511||20}}
|-
| style="text-align:right;"|19 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|275 295 799 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/77 597 520 || ~{{bartable|3.54774||20}}
|-
| style="text-align:right;"|20 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|55 835 135 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/15 519 504 || ~{{bartable|3.59774||20}}
|-
| style="text-align:right;"|21 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|18 858 053 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/5 173 168 || ~{{bartable|3.64536||20}}
|-
| style="text-align:right;"|22 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|19 093 197 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/5 173 168 || ~{{bartable|3.69081||20}}
|-
| style="text-align:right;"|23 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|444 316 699 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/118 982 864 || ~{{bartable|3.73429||20}}
|-
| style="text-align:right;"|24 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:96%;"|1 347 822 955 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:96%;"|/356 948 592 || ~{{bartable|3.77596||20}}
|-
| style="text-align:right;"|25 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:87%;"|34 052 522 467 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:87%;"|/8 923 714 800 || ~{{bartable|3.81596||20}}
|-
| style="text-align:right;"|26 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:87%;"|34 395 742 267 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:87%;"|/8 923 714 800 || ~{{bartable|3.85442||20}}
|-
| style="text-align:right;"|27 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:80%;"|312 536 252 003 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:80%;"|/80 313 433 200 || ~{{bartable|3.89146||20}}
|-
| style="text-align:right;"|28 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:80%;"|315 404 588 903 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:80%;"|/80 313 433 200 || ~{{bartable|3.92717||20}}
|-
| style="text-align:right;"|29 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:73%;"|9 227 046 511 387 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:73%;"|/2 329 089 562 800 || ~{{bartable|3.96165||20}}
|-
| style="text-align:right;"|30 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:73%;"|9 304 682 830 147 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:73%;"|/2 329 089 562 800 || ~{{bartable|3.99499||20}}
|-
| style="text-align:right;"|31 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:64%;"|290 774 257 297 357 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:64%;"|/72 201 776 446 800 || ~{{bartable|4.02725||20}}
|-
| style="text-align:right;"|32 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:64%;"|586 061 125 622 639 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:64%;"|/144 403 552 893 600 || ~{{bartable|4.05850||20}}
|-
| style="text-align:right;"|33 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:68%;"|53 676 090 078 349 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:68%;"|/13 127 595 717 600 || ~{{bartable|4.08880||20}}
|-
| style="text-align:right;"|34 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:68%;"|54 062 195 834 749 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:68%;"|/13 127 595 717 600 || ~{{bartable|4.11821||20}}
|-
| style="text-align:right;"|35 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:68%;"|54 437 269 998 109 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:68%;"|/13 127 595 717 600 || ~{{bartable|4.14678||20}}
|-
| style="text-align:right;"|36 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:68%;"|54 801 925 434 709 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:68%;"|/13 127 595 717 600 || ~{{bartable|4.17456||20}}
|-
| style="text-align:right;"|37 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:60%;"|2 040 798 836 801 833 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:60%;"|/485 721 041 551 200 || ~{{bartable|4.20159||20}}
|-
| style="text-align:right;"|38 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:60%;"|2 053 580 969 474 233 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:60%;"|/485 721 041 551 200 || ~{{bartable|4.22790||20}}
|-
| style="text-align:right;"|39 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:60%;"|2 066 035 355 155 033 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:60%;"|/485 721 041 551 200 || ~{{bartable|4.25354||20}}
|-
| style="text-align:right;"|40 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:60%;"|2 078 178 381 193 813 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:60%;"|/485 721 041 551 200 || ~{{bartable|4.27854||20}}
|}


==இசை எண்களைக் கொண்டுள்ள முற்றொருமைகள்==
இசை எண்களின் [[மீள்வரு தொடர்பு]]:
<math display="block"> H_{n + 1} = H_{n} + \frac{1}{n + 1}.</math>

இசை எண்களுக்கும் [[இசுடர்லிங் சுழல் எண்]]ணுக்குமுள்ள தொடர்பு
<math display="block"> H_n = \frac{1}{n!}\left[{n+1 \atop 2}\right]. </math>

இசை எண்கள் நிறைவுசெய்யும் முற்றொருமைகள்:
<math display="block"> \sum_{k=1}^n H_k = (n+1) H_{n} - n</math>

<math display="block">\sum_{k=1}^n H_k^2 = (n+1)H_{n}^2 - (2 n +1) H_n + 2 n.</math>

இவ்விரண்டும் ஒத்துள்ள தொகையீட்டு முடிவுகள்:
<math display="block">\int_0^x \log y \ d y = x \log x - x;</math>

<math display="block">\int_0^x (\log y)^2\ d y = x (\log x)^2 - 2 x \log x + 2 x.</math>

==={{pi}} உடனான முற்றொருமைகள்===
இசை எண்களையும் [[பை (கணித மாறிலி)|{{pi}}]] இன் அடுக்குகளையும் கொண்ட பல முடிவுறாக் கூட்டுத்தொகைகள் உள்ளன:<ref>Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Harmonic Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html</ref>
<math display="block">\begin{align}
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n\cdot 2^n} &= \frac{\pi^2}{12} \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2}{(n+1)^2} &= \frac{11}{360}\pi^4 \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2}{(n+1)^2} &= \frac{11}{360}\pi^4 \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^3} &= \frac{\pi^4}{72}
\end{align}</math>

==கணக்கீடு==
H_n, க்கான [[லியோனார்டு ஆய்லர்|ஆய்லர்]] தொகையீட்டு வடிவம்:<ref>{{citation|title=How Euler Did It|series=MAA Spectrum|first=C. Edward|last=Sandifer|publisher=Mathematical Association of America|year=2007|isbn=9780883855638|page=206|url=https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA206}}.</ref>
<math display="block"> H_n = \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx. </math> ([[முற்றொருமை (கணிதம்)|முற்றொருமை]]:<math> \frac{1-x^n}{1-x}=1+x+\cdots +x^{n-1}.</math>)

{{math|1=''x'' = 1 − ''u''}} எனப் பதிலிட:
<math display="block">\begin{align}
H_n &= \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx = \int_0^1\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\[6pt]
&= \int_0^1\left[\sum_{k=1}^n \binom nk (-u)^{k-1}\right]\,du
= \sum_{k=1}^n \binom nk \int_0^1 (-u)^{k-1}\,du \\[6pt]
&= \sum_{k=1}^n \binom nk \frac{(-1)^{k-1}}{k}.
\end{align}
</math>

[[File:Integral Test.svg|thumb|இசை எண்களுக்கும் [[இயல் மடக்கை]]க்குமுள்ள தொடர்பை விளக்கும் வரைபடம். {{math|''H''''n''}} ஐ ரீமான் கூட்டுத்தொகையாகக் கொள்ளலாம்: <math>\int_1^{n+1} \frac{dx}{x} = \ln(n+1).</math>]]
{{mvar|n}} ஆவது இசை எண் கிட்டத்தட்ட {{mvar|n}} இன் இயல் மடக்கையளவு பெரியதாக இருக்குமென்பதால் மேலுள்ள கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பு
<math display="block">\int_1^n \frac{1}{x}\, dx,</math> என்ற தொகையீட்டுக்குச் சமமாக இருக்கு; இத்தொகையீட்டின் மதிப்பு
{{math|ln ''n''}} ஆகும்.

எனவே, {{math|''H''''n'' − ln ''n''}} என்ற தொடர்வரிசை கீழுள்ளவாறான [[தொடர்வரிசையின் எல்லை|எல்லைக்கு]] ஒருபோக்காகக் குறையும்:
<math display="block"> \lim_{n \to \infty} \left(H_n - \ln n\right) = \gamma,</math>
இதிலுள்ள {{math|''γ'' ≈ 0.5772156649}} என்பது [[ஆய்லரின் மாறிலி]].

<math display="block">\begin{align}
H_n &\sim \ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}\\
&=\ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots,
\end{align}</math>
இதிலுள்ள {{math|''B''''k''}} என்பவை பெர்னோலி எண்கள்..

{{Reflist|group=note}}

==பிறப்பிக்கும் சார்புகள்==
இசை எண்களுக்கான பிறப்பாக்கி:
:<math>\sum_{n=1}^\infty z^n H_n = \frac {-\ln(1-z)}{1-z},</math> (ln(''z'') - [[இயல் மடக்கை]]).

அடுக்கப் பிறப்பிக்கும் சார்பு:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac {z^n}{n!} H_n = e^z \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} \frac {z^k}{k!} = e^z \operatorname{Ein}(z),</math> (Ein(''z'') என்பது அடுக்கத் தொகையீடு).

அடுக்கத் தொகையீட்டைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்:
:<math>\operatorname{Ein}(z) = \mathrm{E}_1(z) + \gamma + \ln z = \Gamma (0,z) + \gamma + \ln z</math> ( Γ(0, ''z'') என்பது முழுமையற்ற காமா சார்பு).

==வகுபடும்தன்மை==
{{nowrap|<math>H_1=1</math>}} ஐத் தவிர வேறெந்த இசையெண்ணும் ஒரு [[முழு எண்]] அல்ல.<ref name=havil>{{cite book
| last = Havil | first = Julian
| contribution = Chapter 2: The harmonic series
| contribution-url = https://books.google.com/books?id=-fuxDwAAQBAJ&pg=PA21
| isbn = 978-0-691-14133-6
| pages = 21–25
| publisher = Princeton University Press
| title = Gamma: Exploring Euler's Constant
| year = 2003}}</ref>
<ref name=osler>{{cite journal
| last = Osler | first = Thomas J. | author-link = Thomas J. Osler
| date = November 2012
| doi = 10.1017/S0025557200005167
| issue = 537
| journal = [[The Mathematical Gazette]]
| jstor = 24496876
| pages = 515–519
| title = 96.53 Partial sums of series that cannot be an integer
| volume = 96| s2cid = 124359670 }} See in particular Theorem 1, p. 516.</ref>

<math>H_n</math> முழுவெண் அல்ல என்பதை நிரூபிக்க, <math>2^k</math> என்ற {{nowrap|1 முதல் <math>n</math>.}} வரையிலமைந்த மிகப்பெரிய [[இரண்டின் வலு|இரண்டின் அடுக்கை]] எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்; {{nowrap|1 முதல் <math>n</math>}} எண்களின் [[மீச்சிறு பொது மடங்கு]] <math>M</math> எனில், <math>H_k</math> ஐ சம பகுதிகளைக் கொண்ட பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம்:

<math display=block>H_n=\sum_{i=1}^n \tfrac{M/i}{M}</math>
இப்பின்னங்களின் தொகுதிகளில் {{nowrap|<math>M/2^k</math>,}} என்ற ஒன்றுமட்டுமே [[நிகரி (கணிதம்)|ஒற்றைப்படை]] எண்ணாகவும் மற்றவையெல்லாம் இரட்டைப்படை எண்ணாகவும் இருக்கும். மேலும் {{nowrap| <math>n>1</math>}} எனில், <math>M</math> என்பதே இரட்டைப்படையாக இருக்கும். எனவே இப்பின்னங்கள் அனைத்தும் ஒற்றைப்படைத் தொகுதிகளையும் இரட்டைப்படைப் பகுதிகளையும் கொண்டிருக்கும். எனவே <math>H_n</math> முழுஎண்ணாக இருக்காது.<ref name=havil/>

மேலும் வலுவாக, தொடர்ந்த முழுஎண்களைக்கொண்ட எந்தவொரு தொடர்வரிசையிலும், அதன் மற்றெந்த உறுப்புகளையும் விடப் பெரிய இரண்டின் அடுக்கால் வகுபடக்கூடிய தனித்ததொரு உறுப்பு இருக்கும். மேற்கண்ட விதத்திலேயே விவாதிக்க, எந்தவிரு இசையெண்களின் வித்தியாசமும் ஒரு முழுஎண்ணாக இருக்காது என்பதை அறியலாம்.<ref name=osler/>

இசையெண்கள் முழுஎண்களாக இருக்காது என்ற கூற்றை நிறுவும் மற்றொரு நிறுவல், <math>H_n</math> பின்னத்தின் பகுதியானது <math>n/2</math> ஐ விடப் பெரிய [[பகா எண்]]களால் வகுபடும் என்பதையும், இப்பகா எண்களின் கணம் வெற்றுக்கணமாக இருக்காதென்பதற்கு [[பெர்ட்ரான்டின் எடுகோள்|பெர்ட்ரான்டின் எடுகோளையும்]] பயன்படுத்துகிறது. இந்நிறுவல் முறையானது <math>H_1=1</math>, <math>H_2=1.5</math>, <math>H_6=2.45</math> ஆகியவற்றைத் தவிர வேறெந்த இசையெண்ணும் முடிவுறு தசமமாக இருக்காது என்பதை வலுவாகக் காட்டுகிறது.<ref name=havil/> "ஒவ்வொரு பகாஎண்ணும் இசை எண்களின் முடிவுறு கண உறுப்புகளின் தொகுதிகளை மட்டுமே வகுக்கின்றன" என்ற கூற்று அனுமான நிலையில் உள்ளது; நிறுவப்படவில்லை.<ref name=sanna>{{cite journal
| last = Sanna | first = Carlo
| doi = 10.1016/j.jnt.2016.02.020
| journal = Journal of Number Theory
| mr = 3486261
| pages = 41–46
| title = On the <math>p</math>-adic valuation of harmonic numbers
| volume = 166
| year = 2016| hdl = 2318/1622121
| hdl-access = free
}}</ref>

==குறிப்புகள்==
{{Reflist|refs=
<ref name=ConwayGuy>
{{Cite book
| last1 = John H. | first1 = Conway
| last2 = Richard K. | first2 = Guy
| title = The book of numbers
| year = 1995
| publisher = Copernicus
}}</ref>
}}

==மேற்கோள்கள்==
* {{cite journal |author1=Arthur T. Benjamin |author2=Gregory O. Preston |author3=Jennifer J. Quinn |url=http://www.math.hmc.edu/~benjamin/papers/harmonic.pdf |title=A Stirling Encounter with Harmonic Numbers |year=2002 |journal=[[Mathematics Magazine]] |volume=75 |issue=2 |pages=95–103 |doi=10.2307/3219141 |jstor=3219141 |citeseerx=10.1.1.383.722 |access-date=2005-08-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090617002133/http://www.math.hmc.edu/~benjamin/papers/harmonic.pdf |archive-date=2009-06-17 |url-status=dead }}
* {{cite book |author=Donald Knuth |author-link=Donald Knuth |title=The Art of Computer Programming |volume=1: ''Fundamental Algorithms'' |edition=Third |publisher=Addison-Wesley |year=1997 |isbn=978-0-201-89683-1 |chapter=Section 1.2.7: Harmonic Numbers |pages=75–79}}
* Ed Sandifer, ''[http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2002%20Estimating%20the%20Basel%20Problem.pdf How Euler Did It — Estimating the Basel problem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050513105944/http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2002%20Estimating%20the%20Basel%20Problem.pdf |date=2005-05-13 }}'' (2003)
* {{cite journal
| last1 = Paule | first1 = Peter | author1-link = Peter Paule
| last2 = Schneider | first2 = Carsten
| doi = 10.1016/s0196-8858(03)00016-2
| issue = 2
| journal = Adv. Appl. Math.
| pages = 359–378
| title = Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities
| url = http://www.risc.uni-linz.ac.at/publications/download/risc_200/HarmonicNumberIds.pdf
| volume = 31
| year = 2003}}
* {{cite journal |author=Wenchang Chu |url=http://www.combinatorics.org/Volume_11/PDF/v11i1n15.pdf |title=A Binomial Coefficient Identity Associated with Beukers' Conjecture on Apery Numbers |year=2004 |journal=The Electronic Journal of Combinatorics |volume=11 |pages=N15|doi=10.37236/1856 |doi-access=free }}
* {{cite journal |author1=Ayhan Dil |author2=István Mező |title=A Symmetric Algorithm for Hyperharmonic and Fibonacci Numbers |year=2008 |journal=Applied Mathematics and Computation |volume=206 |issue=2 |pages=942–951 |doi=10.1016/j.amc.2008.10.013|arxiv=0803.4388 |s2cid=12130670 }}

==வெளி இணைப்புகள்==
* {{MathWorld|urlname=HarmonicNumber |title=Harmonic Number}}

[[பகுப்பு:எண் கோட்பாடு]]

இசை எண் - திருத்த வரலாறு

imported>Booradleyp1: /* பிறப்பிக்கும் சார்புகள் */