12:55, 21 நவம்பர் 2025 இல் Ruban

2025-11-21T12:55:56Z

← பழைய திருத்தம்		12:55, 21 நவம்பர் 2025 இல் நிலவும் திருத்தம்
வரிசை 4:		வரிசை 4:
	'''சதுரம்''', கேத்திரகணித அடிப்படை வடிவங்களில் ஒன்று. இது, நான்கு [[உச்சி (வடிவவியல்)\|உச்சிகளையும்]], சம அளவிலான நான்கு [[கோட்டுத்துண்டு]]களை பக்கங்களாகவும் கொண்ட, ஒரு இரு பரிமாண உருவமாகும். சதுரம் ஓர் ஒழுங்கு [[நாற்கரம்]] ஆகும்.		'''சதுரம்''', கேத்திரகணித அடிப்படை வடிவங்களில் ஒன்று. இது, நான்கு [[உச்சி (வடிவவியல்)\|உச்சிகளையும்]], சம அளவிலான நான்கு [[கோட்டுத்துண்டு]]களை பக்கங்களாகவும் கொண்ட, ஒரு இரு பரிமாண உருவமாகும். சதுரம் ஓர் ஒழுங்கு [[நாற்கரம்]] ஆகும்.

	=== அடிப்படை உண்மைகள் ===		== அடிப்படை உண்மைகள் ==
	*சதுரம் நான்கு சமபக்கங்களுடைய ஒரு [[பல்கோணம்\|பல்கோணமாகும்]].		*சதுரம் நான்கு சமபக்கங்களுடைய ஒரு [[பல்கோணம்\|பல்கோணமாகும்]].

வரிசை 35:		வரிசை 35:
	:<math> d = \sqrt2 a </math>		:<math> d = \sqrt2 a </math>

	=== சதுரத்தின் பரப்பு ===		== சதுரத்தின் பரப்பு ==
	[[Image:Five Squared.svg\|150px\|right\|thumb\|சதுரத்தின் பரப்பளவு கணக்கிடல்]]		[[Image:Five Squared.svg\|150px\|right\|thumb\|சதுரத்தின் பரப்பளவு கணக்கிடல்]]

13:38, 29 சூலை 2025 இல் imported>Д.Ильин

2025-07-29T13:38:13Z

புதிய பக்கம்

{{dablink|இதே பெயரில் [[சிவபெருமான்]] ஆடிய சிவதாண்டவத்ததினைப் பற்றிய தகவலுக்கு [[சதுரம் (சிவதாண்டவம்)]] கட்டுரையைப் பார்க்க.}}

[[File:Square (polygon).svg|thumb|250px|right|சதுரம்]]
'''சதுரம்''', கேத்திரகணித அடிப்படை வடிவங்களில் ஒன்று. இது, நான்கு [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சிகளையும்]], சம அளவிலான நான்கு [[கோட்டுத்துண்டு]]களை பக்கங்களாகவும் கொண்ட, ஒரு இரு பரிமாண உருவமாகும். சதுரம் ஓர் ஒழுங்கு [[நாற்கரம்]] ஆகும்.

=== அடிப்படை உண்மைகள் ===
*சதுரம் நான்கு சமபக்கங்களுடைய ஒரு [[பல்கோணம்|பல்கோணமாகும்]].

*ABCD சதுரத்தில்

:<math>AB = BC = CD = AD </math>

*நான்கு [[கோணம்|கோணங்களின்]] அளவுகள் சமமாகவும் ஒவ்வொன்றும் 90 [[பாகை (அலகு)|பாகை அளவாகவும்]] இருக்கும்.

:<math>\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90</math> பாகைகள்.

*சதுரத்தின் இரு [[மூலைவிட்டம்|மூலைவிட்டங்களும்]] (கோணல் கோடுகள்) சமநீளமுள்ளவை.

:<math>AC = BD </math>

*ஒரு சதுரத்தின் ஒரு பக்கத்தின் நீளம் a எனில், அதன் சுற்றளவு a யின் நான்கு மடங்கு ஆகும்.

:<math>P = 4a </math>

*மூலைவிட்டத்தின் நீளம்:

:<math>d = \sqrt 2 a </math>

விளக்கம்:

சதுரத்தின் ஒவ்வொரு கோணமும் [[செங்கோணம்]] என்பதால் இரு அடுத்துள்ள பக்கங்களும் ஒரு மூலைவிட்டமும் ஒரு [[செங்கோண முக்கோணம்|செங்கோண முக்கோணத்தை]] அமைக்கின்றன. சதுரத்தின் பக்க அளவு ''a'', மூலைவிட்டத்தின் நீளம் ''d'' எனில், [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தகோரசு தேற்றத்தின்படி]]:

:<math> d^2 = a^2 + a^2 </math>
:<math> d^2 = 2a^2 </math>
:<math> d = \sqrt2 a </math>

=== சதுரத்தின் பரப்பு ===
[[Image:Five Squared.svg|150px|right|thumb|சதுரத்தின் பரப்பளவு கணக்கிடல்]]

ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு அதன் ஒரு பக்க அளவின் [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கத் தொகையால்]] தரப்படுகிறது. உதாரணத்திற்கு, ஒரு சதுரத்தின் பக்க அளவு 5 மீட்டர் என்றால், அதன் பரப்பளவு 5 x 5 = 25 சதுர மீட்டர் ஆகும். 5 மீட்டர் பக்க நீளமுள்ள சதுரத்தை 1 மீட்டர் பக்க நீளமுள்ள சிறுசிறு சதுரங்களாகப் பிரித்தால் மொத்தம் 25 சிறு சதுரங்கள் கிடைக்கின்றன.

பொதுவாகச் சதுரத்தின் பரப்பு ''a'' எனில்:

:<math>A = a^2.</math>

மூலைவிட்டத்தின் மூலமாகவும் சதுரத்தின் பரப்பளவைக் காணலாம். சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தின் நீளம் ''d'' எனில் அச்சதுரத்தின் பரப்பளவு:

:<math>A= a^2 = (\frac {d}{\sqrt 2}) ^{2} = \frac{d^2}{2}.</math>

சதுரத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம் ''R'' எனில்,
:<math> R = d </math>

எனவே சதுரத்தின் பரப்பளவு:
:<math>A=2R^2</math>

சதுரத்தின் உள்வட்ட ஆரம் ''r'' எனில்,
:<math> r = \frac {a}{2} </math>

எனவே சதுரத்தின் பரப்பளவு:

:<math>A=4r^2.</math>

அடுக்கு இரண்டு என்பது சதுரத்தின் பரப்பளவாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டதால்தான் அடுக்கு இரண்டானது ஆங்கிலத்தில் ''ஸ்கொயர்'' என அழைக்கப்பட்டது.

==சமன்பாடுகள்==
[[File:SquareEquationPlotted.jpg|thumb|right|<math>|x| + |y| = 2</math>]]
[[கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை]]யில் ஆதிப்புள்ளியை மையமாகவும் 2 அலகுகள் பக்கநீளமும் கொண்ட சதுரத்தின் உச்சிகளின் ஆயதொலைவுகள்: (±1, ±1). சதுரத்தின் உட்புறம் அமையுமொரு புள்ளிகளின் ஆயதொலைவுகள் (''x''i, ''y''i) , {{nowrap|−1 < ''x''''i'' < 1}}, {{nowrap|−1 < ''y''''i'' < 1}} ஆகும். இச் சதுரத்தின் சமன்பாடு:

:<math>\max(x^2, y^2) = 1</math>, அதாவது "''x''2 அல்லது ''y''2, இரண்டில் எது பெரியதோ அதன் மதிப்பு 1 ஆக இருக்கும்."

இச்சதுரத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் ஆரம் மூலைவிட்டத்தின் நீளத்தில் பாதியாக இருக்கும். அதாவது

சுற்றுவட்டத்தின் ஆரம்:
:<math> R = \scriptstyle \sqrt{2};</math>.

சுற்றுவட்டத்தின் சமன்பாடு:
:<math>x^2 + y^2 = 2.</math>

சதுரத்தின் மற்றொரு சமன்பாடு:

சதுரத்தின் மையம்: (''a'', ''b'') மற்றும் கிடைமட்ட அல்லது குத்து ஆரம் ''r'' எனில் அச்சதுரத்தின் சமன்பாடு:

:<math>\left|x - a\right| + \left|y - b\right| = r.</math>

==பண்புகள்==
சதுரம் என்பது [[சாய்சதுரம்]], [[பட்டம் (வடிவவியல்)|பட்டம்]], [[இணைகரம்]], [[நாற்கரம்]] மற்றும் [[செவ்வகம்]] ஆகியவற்றின் சிறப்பு வகையாகும். எனவே இவ்வடிவவியல் வடிவங்களின் பண்புகள் சதுரத்திற்கும் உண்டு:<ref name= "MathsIsFun">http://www.mathsisfun.com/quadrilaterals.html/</ref>
*சதுரத்தின் எதிரெதிர் பக்கங்கள் [[இணை (வடிவவியல்)|இணையாகவும்]] சமமாகவும் இருக்கும்.
*சதுரத்தின் நான்கு கோணங்களும் சமம். (ஒவ்வொன்றும் 360°/4 = 90° க்குச் சமம்.)
*சதுரத்தின் நான்கு பக்கங்களும் சமம்.
*இரு மூலைவிட்டங்களும் சம நீளமுள்ளவை.
*சதுரத்தின் இரு மூலைவிட்டங்களும் ஒன்றையொன்று இருசமக் கூறிடும். மேலும் செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்ளும்.
*சதுரத்தின் கோணங்களை அதன் மூலைவிட்டங்கள் இருசமக்கூறிடும்.

==பிற விவரங்கள்==
*ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் ஒவ்வொன்றின் நீளமும் அச்சதுரத்தின் பக்கநீளத்தைப்போல் <math>\scriptstyle \sqrt{2}</math> (கிட்டத்தட்ட 1.414) மடங்காகும். [[விகிதமுறா எண்]] என நிறுவப்பட்ட முதல் எண் <math>\scriptstyle \sqrt{2}.</math>
*கோணங்களை இருசமக்கூறிடும் சம நீளமுள்ள மூலைவிட்டங்கள் கொண்ட இணைகரமாகச் சதுரத்தை வரையறுக்கலாம்.
*செவ்வகமாகவும் சாய்சதுரமாகவும் அமையக்கூடிய வடிவவியல் வடிவமாகச் சதுரத்தைக் கருதலாம்.
*சதுரத்தைச் சுற்றி அதன் நான்கு உச்சிகளின் வழியாகச் செல்லும் வட்டத்தின் (சுற்று வட்டம்) பரப்பளவு சதுரத்தின் பரப்பைப்போல் <math>\pi/2</math> (கிட்டத்தட்ட 1.571) மடங்காகும்.
*சதுரத்துக்குள் அதன் பக்கங்களைத் தொட்டவாறு வரையப்பட்ட வட்டத்தின் (உள்வட்டம்) பரப்பளவு சதுரத்தின் பரப்பளவைப்போல் <math>\pi/4</math> (கிட்டத்தட்ட 0.7854) மடங்காகும்.
*ஒரு சதுரத்துடன் சம சுற்றளவுடைய எந்தவொரு நாற்கரத்தின் பரப்பளவையும் விட சதுரத்தின் பரப்பளவு பெரியது.<ref>http://www2.mat.dtu.dk/people/V.L.Hansen/square.html</ref>
*சதுரம் அதிக [[சமச்சீர் (கணிதம்)|சமச்சீருள்ள]] ஒரு வடிவம். ஒரு சதுரத்திற்கு நான்கு பிரதிபலிப்பு சமச்சீர் அச்சுகளும் நான்கு கிரம [[சுழற்சி#கணிதம்|சுழற்சி]] சமச்சீரும் (through 90°, 180° , 270° கோண சுழற்சிகள்) உள்ளது. சதுரத்தின் [[சமச்சீர் குலம்]], ஒரு [[இருமுகக் குலங்கள்|இருமுகக் குலம்]] ( D4).
*''ABCD'' சதுரத்தின் பக்கங்கள் ''AB'', ''BC'' , ''CD'', ''DA'' ஆகியவற்றை உள்வட்டம் தொடும் புள்ளிகள் முறையே ''E'' , ''F'' , ''G'' , ''H'' மற்றும் உள்வட்டத்தின் மேலுள்ள ஒரு புள்ளி ''P'' எனில்<ref>http://gogeometry.com/problem/p331_square_inscribed_circle.htm</ref>:

::<math> 2(PH^2-PE^2) = PD^2-PB^2.</math>

== தமிழ்ப் பெயர் ==

* '''நாலாரம் '''( நாலு + ஆரம் )
* '''நாலியாரம்''' ( நாலி+ ஆரம் )
*'''நால்வாரி''' ( வரி -> வாரி )
*'''நால்வாரிகை''' ( வரி -> வாரி )

==வரைதல்==
[[File:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|thumb|right|கவராயமும் நேர்விளிம்பும் மட்டும் கொண்டு சதுரம் வரைதல்]]
கவராயமும் [[நேர்விளிம்பு]]ம் மட்டும் கொண்டு சதுரம் வரையும் விதம் இங்குள்ள [[இயங்குபடம்|அசைபடத்தில்]] காட்டப்பட்டுள்ளது.

;வரைமுறை

#நேர்விளிம்பு கொண்டு ஒரு [[கோடு|நேர்கோடு]] வரைக.
#கவராயம் கொண்டு இக்கோட்டின் மீதமைந்த ஏதேனுமொரு [[புள்ளி]]யை மையமாகவும் ஒரு குறிப்பிட்ட [[ஆரம்|ஆரமும்]] கொண்ட [[வட்டம்]] வரைக.
#இவ்வட்ட மையத்துக்கும் வட்டமையம் கோட்டை வெட்டும் புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட தூரத்தை ஆரமாகவும், வட்டம் கோட்டை வெட்டும் புள்ளியை மையமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
#இந்த இரண்டாவது வட்டம் முதல் வட்டத்தை வெட்டும் இரு புள்ளிகளை இணைத்து ஒரு [[கோட்டுத்துண்டு]] வரைக.
#இந்த கோட்டுத்துண்டு முதலில் வரைந்த கோட்டை சந்திக்கும் புள்ளியை மையமாகவும், இப்புள்ளிக்கும் முதல் வட்டத்தின் மையத்துக்கும் இடைப்பட்ட தூரத்தை ஆரமாகவும் கொண்டு மூன்றாவது வட்டமொன்று வரைக.
#இந்த வட்டம் கோட்டுத்துண்டை இரு புள்ளிகளில் சந்திக்கும்.
#இந்த இரு புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றையும் முதலில் வரைந்த வட்ட மையத்துடன் இணைத்து வரையப்படும் கோட்டை இருபுறங்களிலும் நீட்டித்தால், அக்கோடுகள் இரண்டும் முதல் வட்டத்தைச் சந்திக்கும் நான்கு புள்ளிகளும் ஒரு சதுரத்தை உருவாக்கும்.

==மேற்கோள்கள்==
{{reflist}}

[[பகுப்பு:நாற்கரங்களின் வகைகள்]]

சதுரம் - திருத்த வரலாறு

12:55, 21 நவம்பர் 2025 இல் Ruban

13:38, 29 சூலை 2025 இல் imported>Д.Ильин