imported>BalajijagadeshBot: பராமரிப்பு using AWB

2019-06-01T18:31:03Z

பராமரிப்பு using AWB

புதிய பக்கம்

ஒரு [[முழு எண்]]ணின் இலக்கங்களைச் [[சுழல் வரிசைமாற்றம்]] செய்வதால் கிடைக்கும் புது எண்கள், மூல எண்ணின் அடுத்தடுத்த மடங்குகளாக அமையுமானால் அம்முழுஎண் '''சுழலெண்''' (''cyclic number'') எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:
[[142857 (எண்)|142857]] ஒரு சுழலெண்:

:142857 × 1 = 142857
:142857 × 2 = 285714
:142857 × 3 = 428571
:142857 × 4 = 571428
:142857 × 5 = 714285
:142857 × 6 = 857142

== விளக்கம் ==
ஒரு எண் சுழலெண்ணாக இருக்கவேண்டுமானல் அதன் தொடர் மடங்குகள் அதன் இலக்கங்களின் சுழல் வரிசைமாற்றங்களாக இருக்க வேண்டும்<ref>[http://mathworld.wolfram.com/CyclicNumber.html Cyclic Number]</ref>.

எண் 076923 ஒரு சுழலெண் அல்ல. அதன் இலக்கங்களின் சுழல் வரிசைமாற்றங்கள் 076923 இன் மடங்குகளாக உள்ளன, ஆனால் அடுத்தடுத்த வரிசையிலான மடங்குகளாக இல்லை:

:076923 × 1 = 076923
:076923 × 3 = 230769
:076923 × 4 = 307692
:076923 × 9 = 692307
:076923 × 10 = 769230
:076923 × 12 = 923076

முன் [[சுழி]]கள் அனுமதிக்கப்படாவிட்டால், [[பதின்மம்|பதின்மங்களில்]] 142857 மட்டுமே சுழலெண்ணாக இருக்கும். முன்சுழிகள் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டால் சுழலெண்களின் தொடர்வரிசை:
:(106-1) / '''7''' = 142857 (6 இலக்கங்கள்)
:(1016-1) / '''17''' = 0588235294117647 (16 இலக்கங்கள்)
:(1018-1) / '''19''' = 052631578947368421 (18 இலக்கங்கள்)
:(1022-1) / '''23''' = 0434782608695652173913 (22 இலக்கங்கள்)
:(1028-1) / '''29''' = 0344827586206896551724137931 (28 இலக்கங்கள்)
:(1046-1) / '''47''' = 0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 இலக்கங்கள்)
:(1058-1) / '''59''' = 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 இலக்கங்கள்)
:(1060-1) / '''61''' = 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 இலக்கங்கள்)

== சுழலெண்களின் வடிவம் ==

சுழலெண்களின் வடிவம்:
:<math>\frac{b^{p-1}-1}{p}</math>

இதில் ''b'' -அடிமான எண்; ''p'' ஒரு [[பகா எண்]] மற்றும் ''b'' இன் [[வகுஎண்]]ணாக ''p'' இருக்காது.

எடுத்துக்காட்டு:
* ''b'' = 10, ''p'' = 7 எனில் கிடைக்கும் சுழலெண் 142857
* ''b'' = 12, ''p'' = 5 எனில் கிடைக்கும் சுழலெண் 2497

''p'' இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் இவ்வாய்ப்பாடு சுழலெண்ணைத் தராது.

எடுத்துக்காட்டு:
:''b'' = 10, ''p'' = 13 என மேலுள்ள வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடக் கிடைக்கும் எண் 076923076923. இது ஒரு சுழலெண் அல்ல.

*[[பதின்மம்|பத்தடிமானத்தில்]] (''b'' = 10) இவ்வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடும்போது சுழலெண்களைத் தரும் ''p'' இன் முதல் மதிப்புகள் {{OEIS|id=A001913}}
:7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, …

*''b'' = 12 எனில் இவ்வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடும்போது சுழலெண்களைத் தரும் ''p'' இன் முதல் மதிப்புகள் {{OEIS|id=A019340}}
:5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 353, 367, 379, 389, 401, 449, 461, 509, 523, 547, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 619, 631, 641, 653, 691, 701, 739, 751, 761, 773, 787, 797, 809, 821, 857, 881, 929, 953, 967, 977, 991, ...

* ''b'' = 2 எனில், இவ்வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடும்போது சுழலெண்களைத் தரும் ''p'' இன் முதல் மதிப்புகள் {{OEIS|id=A001122}}
:3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ...

* ''b'' = 3 எனில், இவ்வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடும்போது சுழலெண்களைத் தரும் ''p'' இன் முதல் மதிப்புகள் {{OEIS|id=A019334}}
:2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 331, 353, 379, 389, 401, 449, 461, 463, 487, 509, 521, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 631, 641, 653, 677, 691, 701, 739, 751, 773, 797, 809, 811, 821, 823, 857, 859, 881, 907, 929, 941, 953, 977, ...

[[பதினறும எண் முறைமை]]யில் (''b'' = 16) இத்தகைய ''p'' இன் மதிப்புகள் இல்லை.

== பண்புகள் ==
*ஒரு சுழலெண் அதன் பிறப்பாக்கி பகாஎண்ணால் பெருக்கப்படும்போது {{'}}''அடிமான எண்''−1' மதிப்புள்ள இலக்கங்களைக் கொண்ட எண் விடையாகக் கிடைக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, பத்தடிமானத்தில் சுழலெண் 14287 ஐ அதன் பிறப்பாக்கி 7 ஆல் பெருக்கக் கிடைக்கும் எண்:
::142857 × 7 = 999999.
* ''14 + 28 + 57 = 99'', ''142 + 857 = 999'', ''1428 + 5714+ 2857 = 9999'' ...
*அனைத்து சுழலெண்களும் {{'}}''அடிமான எண்''−1' ஆல் வகுபடும்.

==மேற்கோள்கள்==
{{reflist}}

==மேலும் படிக்க==
*Gardner, Martin. Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments From Scientific American. New York: The Mathematical Association of America, 1979. pp. 111–122.
*Kalman, Dan; 'Fractions with Cycling Digit Patterns' The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2. (Mar., 1996), pp. 109–115.
* Leslie, John. ''"The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of ...."'', Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown, 1820, {{ISBN|1-4020-1546-1}}
*Wells, David; ''"The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers"'', Penguin Press. {{ISBN|0-14-008029-5}}

==வெளியிணைப்புகள்==
* [http://www.youtube.com/watch?v=WUlaUalgxqI Youtube: "Cyclic Numbers - Numberphile"]

[[பகுப்பு:குறிப்பிடத்தக்க எண் வகைகள்]]
[[பகுப்பு:வரிசைமாற்றங்கள்]]

சுழலெண் - திருத்த வரலாறு

imported>BalajijagadeshBot: பராமரிப்பு using AWB