imported>InternetArchiveBot: Rescuing 1 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.9.2

2022-12-23T02:55:57Z

Rescuing 1 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.9.2

புதிய பக்கம்

'''சைன் விதி''' எனப்படுவது [[முக்கோணவியல்|திரிகோண கணிதத்திலும்]] ஏனைய முக்கிய கணிப்புக்களிலும் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு விதியாகும். இது முக்கோணமொன்றின் பக்கங்களுக்கும், அதன் கோணங்களின் [[சைன் (முக்கோணவியல்)|சைன்]] பெறுமதிகளுக்கும் இடையிலான தொடர்பைக் காட்டுகிறது.

== விதி ==
[[படிமம்:LabeledTriangle.svg|thumb|right|சைன் விதியை விளக்கும் முக்கோணி]]
யாதுமொரு முக்கோணி ABCயில்,
:<math> \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} </math> ஆகும்.

==நிறுவல்==
===கூர்ங்கோண முக்கோணி===
[[படிமம்:Law of sines proof.svg|thumb|கூர்ங்கோண முக்கோணியில் சைன் விதி]]

இம்முக்கோணியில் செங்குத்துயரம் hஐச் சமப்படுத்தினால்,
:<math> asinB=bsinA </math>

ஆகவே,
:<math> \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,</math>

''A'' உச்சியிலிருந்து செங்கோடு வரைந்து அதன் மதிப்புகளை இதே வகையில் கண்டறிந்து சமப்படுத்தினால்
:<math> csinB=bsinC </math>

ஆகவே,
:<math> \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C}\,</math>

இவை இரண்டையும் இணைத்தால்
:<math> \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} </math> என முழுமையான சைன் விதி நிறுவப்படும்.

===விரிகோண முக்கோணி===
[[படிமம்:Sine Law - Ambiguous Case.svg|thumb|விரிகோண முக்கோணியில் சைன் விதி]]
இம்முக்கோணியில் செங்குத்துயரத்தைச் சமப்படுத்தினால்,
:<math> asin(180-B)=bsinA </math>
:<math> asinB=bsinA </math>

ஆகவே,
:<math> \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,</math>

''A'' உச்சியிலிருந்து செங்கோடு வரைந்து அதன் மதிப்புகளை இதே வகையில் கண்டறிந்து சமப்படுத்தினால்
:<math> csinB=bsinC </math> எனக் கிடைக்கும்.

ஆகவே,
:<math> \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C}\,</math>

இவை இரண்டையும் இணைத்தால்
:<math> \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} </math> என முழுமையான சைன் விதி விரிகோண முக்கோணத்துக்கும் நிறுவப்படும்.

== சுற்றுவட்டத்துடன் தொடர்பு ==
[[File:Sinelaw radius (Greek angles).svg|thumb|upright=1.0|சைன் விதியின் விகிதங்களின் பொதுமதிப்பு சுற்றுவட்டத்தின் விட்டத்திற்குச் சமமென வருவித்தலுக்கான படம்.]]
<math display="block"> \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}},</math> என்ற முற்றொருமையின் மூன்று சமவிகிதங்களின் பொதுமதிப்பு முக்கோணத்தின் [[சூழ்தொடு வட்டம்|சுற்றுவட்டத்தின்]] [[விட்டம்|விட்டத்திற்குச்]] சமமாக இருக்கும். இந்த முடிவு கணிதவியலாளர் [[தொலெமி]] காலத்திலேயே அறியப்பட்டிருந்தது.<ref>Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. ''Geometry Revisited''. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 1–3, 1967</ref><ref name=":0">{{Cite web|url=http://www.pballew.net/lawofsin.html|title=Law of Sines|website=www.pballew.net|access-date=2018-09-18|archive-date=2018-09-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20180910164536/http://www.pballew.net/lawofsin.html|url-status=}}</ref>

=== நிறுவல் ===
<math> \triangle ABC</math> இன் சுற்றுவட்டம் வரையப்பட்டுள்ளது. சுற்றுவட்ட மையம் '''O''' வழிச் செல்லும் முக்கோணம் <math> \triangle ADB</math> இன் சுற்றுவட்டமாகவும் இதே வட்டம் உள்ளது.
:<math> \angle ABD = 90^\circ</math> (அரைவட்டக் கோணம்)
இப்போது <math> \triangle ABD</math> முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம். எனவே
:<math display="block"> \sin{\delta}= \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}= \frac{c}{2R},</math> <math> R= \frac{d}{2}</math> = சுற்றுவட்ட ஆரம்<ref name=":0" />
: <math>{\gamma} = {\delta}</math> (ஒரே வட்ட வில் தாங்கும் கோணங்கள் சமம்) என்பதால்
<math display="block"> \sin{\delta} = \sin{\gamma} = \frac{c}{2R}.</math>

இதனை மாற்றியமைக்க:
<math display="block"> 2R = \frac{c}{\sin{\gamma}}.</math>

<math> \triangle ADB</math> முக்கோணத்தைப்போல மற்ற இரு முக்கோண உச்சிகளைக் கொண்டு கண்டுபிடித்தால் சைன் விதியின் மூன்று விகிதங்களும் <math>2R</math> க்குச் சமமாக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே:
{{equation box 1|equation=<math> \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}}=2R.</math>}}

=== முக்கோணத்தின் பரப்பளவுடன் தொடர்பு ===
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு வாய்பாடு
:<math display="inline">T = \frac{1}{2}ab \sin \theta</math>; {{math|''a''}}, {{math|''b''}} முக்கோணத்தின் எவையேனும் இரு பக்கங்கள்; அப்பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் <math>\theta</math> .

<math>\sin\theta</math> இன் மதிப்பை சைன் விதியின் சுற்றுவட்ட ஆரம் <math>R</math> உடனுள்ள<ref>{{Citation|last=Mr. T's Math Videos|title=Area of a Triangle and Radius of its Circumscribed Circle|date=2015-06-10|url=https://www.youtube.com/watch?v=t6QNGDPG4Og| archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/t6QNGDPG4Og| archive-date=2021-12-11 | url-status=live|access-date=2018-09-18}}{{cbignore}}</ref> தொடர்பு வாய்பாட்டிலிருந்து பதிலிட:
:<math display="block">T=\frac{1}{2}ab \cdot \frac {c}{2R}.</math>
:{{equation box 1|equation=<math>T=\frac{abc}{4R}.</math>}}

இதிலிருந்து மேலும் பெறக்கூடிய வாய்பாடுகள்:
:<math display="block">\begin{align}
\frac{abc} {2T}
& = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\[6pt]
& = \frac {2abc} {\sqrt{{(a^2+b^2+c^2)}^2-2(a^4+b^4+c^4) }},
\end{align}</math>; {{math|''T''}} = முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, {{math|''s''}} <math display="inline">s = \frac{a+b+c}{2}.</math> = முக்கோணத்தின் [[அரைச்சுற்றளவு]]

இரண்டாவது வாய்பாட்டை முக்கோணப் பரப்பளவுக்கான [[ஈரோனின் வாய்பாடு|ஈரோனின் வாய்பாடாக]] சுருக்கலாம்.

சைன் விதியைக் கொண்டு கீழ்வரும் முக்கோணப் பரப்பளவிற்கான வாய்பாட்டைப் பெறலாம்:
<math display="inline">S =\frac {\sin A + \sin B + \sin C}{2}</math> = முக்கோணத்தின் கோணங்களின் சைன்மதிப்புகளின் அரைக்கூட்டுத்தொகை என்க. இப்பொழுது முக்கோணப் பரப்பளவிற்கான வாய்பாடு:<ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 108–109.</ref>

{{equation box 1|equation=<math>T = 4R^{2} \sqrt{S \left(S - \sin A\right) \left(S - \sin B\right) \left(S - \sin C\right)}</math>}}. (<math>R</math> முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம்; <math display="inline">2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}</math>.)

== கோள சைன் விதி ==
ஒரு கோளத்தின் [[பெரு வட்டம்|பெருவட்டங்களின்]] விற்களைப் பக்கங்களாகக் கொண்டு அக்கோளத்தின் மீதமையும் முக்கோணங்கள் கோள முக்கோணங்களாகும்.

ஓரலகு ஆரமுள்ள கோளத்தின் மீதமைந்த முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}} எனில் இம்மூன்று அளவுகளும் முக்கோணத்தின் அமையும் மூன்று பெருவட்ட விற்களானது கோளமையத்தில் தாங்கும் கோண அளவுகளாக (ரேடியனில்) இருக்கும். இம்மூன்று பக்கங்களுக்கும் எதிருள்ள உச்சிக்கோணங்கள் முறையே {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}} எனில் கோள சைன்விதி:
:<math>\frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\sin B}{\sin b}=\frac{\sin C}{\sin c}.</math>

[[கோள முக்கோணம்|கோள முக்கோணத்தின்]] பக்கங்கள் கோளத்தின் ஆரத்தைவிட மிகச் சிறியதாக இருக்கும்போது இவ்விதியானது கிட்டத்தட்ட தள முக்கோணவியலின் [[சைன் விதி]]யை ஒத்திருக்கும்.

=== நிறுவல் ===
சைன் விதியின் நிறுவல் கீழுள்ளவாறு டோதுந்தேரின் நூலில் உள்ளது.<ref name=todhunter>{{cite book
|last = Todhunter
|first = I.
|author-link = Isaac Todhunter
|title = Spherical Trigonometry
|year = 1886
|publisher = MacMillan
|edition = 5th
|url = http://www.gutenberg.org/ebooks/19770
|access-date = 2013-07-28
|archive-date = 2020-04-14
|archive-url = https://web.archive.org/web/20200414233849/http://www.gutenberg.org/ebooks/19770
|url-status = live
}}</ref> (Art.40).

:<math>\sin^2 A=1-\cos^2 A</math> முற்றொருமையில் கோள கொசைன் விதியிலிருந்து பெறப்பட்ட <math>\cos A</math> மதிப்பைப் பதிலிட:

:<math>
\begin{align}
\sin^2 A &=1-\left(\frac{\cos a - \cos b \cos c}{\sin b \sin c}\right)^2\\[5pt]
&
=\frac{(1-\cos^2 b)(1-\cos^2 c)-(\cos a - \cos b\cos c)^2}
{\sin^2\!b \,\sin^2\!c}\\[5pt]
\frac{\sin A}{\sin a}&=\frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}.
\end{align}</math>
இம்முடிவின் வலப்பக்க மதிப்பில் <math>a,\;b,\;c</math> இன் வட்ட வரிசைமாற்றத்தால் எந்தவொரு மாற்றமும் இருக்காது. எனவே
:<math>\frac{\sin B}{\sin b} = \frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}</math>.
:<math>\frac{\sin C}{\sin c} = \frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}</math>.

:ஃ<math>\frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\sin B}{\sin b}=\frac{\sin C}{\sin c}.</math> என நிறுவப்படுகிறது.

[[File:Spherical trigonometry vectors.svg|thumb|right|200px]]

=== திசையன் நிறுவல் ===
அலகு கோளத்தின் மையம் {{math|'''O'''}} இலிருந்து முக்கோணத்தின் உச்சிகளுக்கு வரைப்பட்ட திசையன்கள்: {{math|'''OA'''}}, {{math|'''OB'''}}, {{math|'''OC'''}}. BC வில்லானது கோளமையத்தில் தாங்கும் கோணத்தின் அளவு ''a''. '''OA''' ஐ ''z''-அச்சிலும், ''xz''-தளத்தில் '''OB''' ஆனது ''z''-அச்சுடன் உருவாக்கும் கோணம் ''c'' எனவும் கொண்டு ஒரு கார்ட்டீசியன் அடுக்களத்தை எடுத்துக்கொள்ள, ''xy''- தளத்தில் '''OC''' இன் வீழல் ON ஆகவும், ON, ''x''-அச்சுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் ''A'' ஆகவும் இருக்கும். எனவே '''OA''', '''OB''', '''OC''' திசையன்களின் கூறுகள் பின்னுள்ளவாறு அமையும்:
:<math display="block">\mathbf{OA} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{OB} = \begin{pmatrix}\sin c \\ 0 \\ \cos c\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{OC} = \begin{pmatrix}\sin b\cos A \\ \sin b\sin A \\ \cos b\end{pmatrix}.</math>

திசையிலி முப்பெருக்க அணிக்கோவையின் வர்க்கம் காண:
<math display="block"> \begin{align}
\bigl(\mathbf{OA} \cdot (\mathbf{OB} \times \mathbf{OC})\bigr)^2
& = \left(\det \begin{pmatrix}\mathbf{OA} & \mathbf{OB} & \mathbf{OC}\end{pmatrix}\right)^2 \\[4pt]
& = \begin{vmatrix}
0 & 0 & 1 \\
\sin c & 0 & \cos c \\
\sin b \cos A & \sin b \sin A & \cos b
\end{vmatrix} ^2
= \left(\sin b \sin c \sin A\right)^2.
\end{align}</math>

{{math|'''OA''' ⋅ ('''OB''' × '''OC''')}} [[திசையிலி முப்பெருக்கம்|திசையிலி முப்பெருக்கத்தின்]] மதிப்பு, {{math|'''OA''', '''OB''', '''OC'''}} திசையன்களை ஒருமுனை விளிம்புகளாகக் கொண்ட [[இணைகரத்திண்மம்|இணைகரத்திண்மத்தின்]] கனவளவுக்குச் ({{math|'''V'''}}) சமம். மேலும் {{math|'''OA'''}}, {{math|'''OB'''}}, {{math|'''OC'''}} திசையன்களைக் குறிக்க எடுத்துக்கொள்ளும் ஆயமுறையைப் பொறுத்து இந்த கனவளவு மாறாத அளவாக இருக்கும். எனவே

{{math|''z''}}-அச்சை {{math|'''OB'''}} வழியாக எடுத்துக்கொண்டு திசையன் முப்பெருக்கம் கண்டுபிடித்தால் {{math|(sin ''c'' sin ''a'' sin ''B'')2}} எனவும், {{math|''z''}}-அச்சை {{math|'''OC'''}} வழியாக எடுத்துக்கொண்டு திசையிலி முப்பெருக்கம் காண {{math|(sin ''a'' sin ''b'' sin ''C'')2}} எனவும் கிடைக்கும். மூன்று விடைகளையும் சமப்படுத்தி, {{math|(sin ''a'' sin ''b'' sin ''c'')2}} ஆல் வகுக்க:
<math display="block">
\frac{\sin^2 A}{\sin^2 a}
= \frac{\sin^2 B}{\sin^2 b}
= \frac{\sin^2 C}{\sin^2 c}
= \frac{V^2}{\sin^2 (a) \sin^2 (b) \sin^2 (c)},
</math>
இதிலிருந்து சைன்விதியின் வாய்பாட்டைப் பெறலாம்.

=== வடிவவியல் நிறுவல் ===
*கோளத்தின் ஆரம் ஓரலகு எனில், <math display="block">OA = OB = OC = 1</math>:

* <math>\angle ADO = \angle AEO = 90^\circ</math> என்றவாறு <math>D,</math> <math>E</math> புள்ளிகளை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

*<math>\angle A'DO = \angle A'EO = 90^\circ</math> என்றவாறு <math>A'</math> புள்ளியை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

* இதிலிருந்து <math>\angle ADA' = B,</math> <math>\angle AEA' = C</math> ஆக இருக்கும்.

*<math>A'</math> ஆனது, <math>OBC</math> தளத்தில் <math>A</math> இன் வீழலாகும். எனவே:
:<math>\angle AA'D = \angle AA'E = 90^\circ</math>

*முக்கோணவியலின் அடிப்படைப் பண்புகளின்படி:
:<math display="block">AD = \sin c </math>
:<math display="block">AE = \sin b</math>

*ஆனால் <math>AA' = AD \sin B = AE \sin C </math>

*இவற்றை இணைக்க:
<math display="block">\sin c \sin B = \sin b \sin C</math>
<math display="block">\frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} </math>

* இதேபோன்று மற்ற உச்சிகளுக்கும் பெறப்படும் முடிவுகளைக் கொண்டு முழுமையான சைன் விதியைப் பெறலாம்:
<math display="block">\frac{\sin A}{\sin a} =\frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} </math>

== மேற்கோள்கள் ==
{{Reflist}}

== வெளியிணைப்புகள் ==
* {{springer|title=Sine theorem|id=p/s085520}}
* [http://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml#law The Law of Sines] at [[cut-the-knot]]
* [http://mysite.du.edu/~jcalvert/railway/degcurv.htm Degree of Curvature]
* [https://web.archive.org/web/20160815080014/http://www.efnet-math.org/Meta/sine1.htm Finding the Sine of 1 Degree]
* [http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedLawofSines.html Generalized law of sines to higher dimensions]

[[பகுப்பு:முக்கோணவியல்]]
[[பகுப்பு:கோணங்கள்]]
[[பகுப்பு:முக்கோணங்கள் பற்றிய தேற்றங்கள்]]

சைன் விதி - திருத்த வரலாறு

imported>InternetArchiveBot: Rescuing 1 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.9.2