பரவற்படி - திருத்த வரலாறு

07:25, 17 பெப்பிரவரி 2026 இல் Ruban

2026-02-17T07:25:15Z

← பழைய திருத்தம்		07:25, 17 பெப்பிரவரி 2026 இல் நிலவும் திருத்தம்
வரிசை 13:		வரிசை 13:
	பரவற்படி, Var(''X''), <math>\scriptstyle\sigma_X^2</math> அல்லது சுருக்கமாக, σ<sup>2</sup> (வாசிப்பு:சிக்மா ஸ்கொயர்ட்) எனக் குறிக்கப்படுகிறது. பரவற்படியின் வரையறையைக் கீழ்க்கண்டவாறு விரிக்கலாம்:		பரவற்படி, Var(''X''), <math>\scriptstyle\sigma_X^2</math> அல்லது சுருக்கமாக, σ<sup>2</sup> (வாசிப்பு:சிக்மா ஸ்கொயர்ட்) எனக் குறிக்கப்படுகிறது. பரவற்படியின் வரையறையைக் கீழ்க்கண்டவாறு விரிக்கலாம்:
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	\operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}\left[X^2 - 2X\operatorname{E}[X] + (\operatorname{E}[X])^2\right] \\		\operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}\left[X^2 - 2X\operatorname{E}[X] + (\operatorname{E}[X])^2\right] \
	&= \operatorname{E}\left[X^2\right] - 2\operatorname{E}[X]\operatorname{E}[X] + (\operatorname{E}[X])^2 \\		&= \operatorname{E}\left[X^2\right] - 2\operatorname{E}[X]\operatorname{E}[X] + (\operatorname{E}[X])^2 \
	&= \operatorname{E}\left[X^2 \right] - (\operatorname{E}[X])^2		&= \operatorname{E}\left[X^2 \right] - (\operatorname{E}[X])^2
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	===தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி===		==தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி==

	தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி ''X'' இன் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு ''f''(''x'') எனில் அதன் பரவற்படி:		தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி ''X'' இன் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு ''f''(''x'') எனில் அதன் பரவற்படி:
வரிசை 30:		வரிசை 30:
	[[கோஷியின் பரவல்]] போன்று எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு கொண்டிராத தொடர் பரவலுக்கு பரவற்படியும் இருக்காது. மேலும் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு கொண்டிராத வேறுபல பரவல்களுக்கு பரவற்படியின் வாய்ப்பாட்டிலுள்ள தொகையீடு விரிவதால், பரவற்படி முடிவுறு எண்ணாக இருக்காது.		[[கோஷியின் பரவல்]] போன்று எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு கொண்டிராத தொடர் பரவலுக்கு பரவற்படியும் இருக்காது. மேலும் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு கொண்டிராத வேறுபல பரவல்களுக்கு பரவற்படியின் வாய்ப்பாட்டிலுள்ள தொகையீடு விரிவதால், பரவற்படி முடிவுறு எண்ணாக இருக்காது.

	===தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி===		==தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி==

	தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி ''X'' இன் [[நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு]] ''x''<sub>1</sub> ↦ ''p''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> ↦ ''p''<sub>''n''</sub> எனில் அதன் பரவற்படி:		தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி ''X'' இன் [[நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு]] ''x''<sub>1</sub> ↦ ''p''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> ↦ ''p''<sub>''n''</sub> எனில் அதன் பரவற்படி:
வரிசை 47:		வரிசை 47:
	==எடுத்துக்காட்டுகள்==		==எடுத்துக்காட்டுகள்==

	===இயல்நிலைப் பரவல்===		==இயல்நிலைப் பரவல்==
	[[இயல்நிலைப் பரவல்]] μ மற்றும் σ வைப் பண்பளவைகளாகக் கொண்ட தொடர் பரவலாகும். இப்பரவலின் [[நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு]]:		[[இயல்நிலைப் பரவல்]] μ மற்றும் σ வைப் பண்பளவைகளாகக் கொண்ட தொடர் பரவலாகும். இப்பரவலின் [[நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு]]:
	:<math>		:<math>
வரிசை 58:		வரிசை 58:
	புள்ளியியலிலும் நிகழ்தகவிலும் பரவற்படி காணப்படுவதற்குக் காரணம் [[மைய எல்லைத் தேற்றம்\|மைய எல்லைத் தேற்றத்தில்]] இயல்நிலைப் பரவல் ஏற்கும் பங்காகும்.		புள்ளியியலிலும் நிகழ்தகவிலும் பரவற்படி காணப்படுவதற்குக் காரணம் [[மைய எல்லைத் தேற்றம்\|மைய எல்லைத் தேற்றத்தில்]] இயல்நிலைப் பரவல் ஏற்கும் பங்காகும்.

	===அடுக்குக்குறிப் பரவல்===		==அடுக்குக்குறிப் பரவல்==
	[[அடுக்குக்குறிப் பரவல்]] [0,∞) [[இடைவெளி (கணிதம்)\|இடைவெளியில்]] பண்பளவை λ கொண்ட தொடர் பரவல் ஆகும். இப்பரவலின் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு:		[[அடுக்குக்குறிப் பரவல்]] [0,∞) [[இடைவெளி (கணிதம்)\|இடைவெளியில்]] பண்பளவை λ கொண்ட தொடர் பரவல் ஆகும். இப்பரவலின் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு:

வரிசை 69:		வரிசை 69:
	எனவே அடுக்குறிப் பரவலைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு மாறிக்கு σ<sup>2</sup> = μ<sup>2</sup> என அமையும்.		எனவே அடுக்குறிப் பரவலைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு மாறிக்கு σ<sup>2</sup> = μ<sup>2</sup> என அமையும்.

	===பாய்சான் பரவல்===		==பாய்சான் பரவல்==
	[[பாய்சான் பரவல்]] பண்பளவை λ கொண்ட தனித்த பரவலாகும். இப் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:		[[பாய்சான் பரவல்]] பண்பளவை λ கொண்ட தனித்த பரவலாகும். இப் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:

வரிசை 82:		வரிசை 82:
	எனவே பாய்சான் பரவலைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு மாறிக்கு, :σ<sup>2</sup> = μ.		எனவே பாய்சான் பரவலைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு மாறிக்கு, :σ<sup>2</sup> = μ.

	===ஈருறுப்புப் பரவல்===		==ஈருறுப்புப் பரவல்==
	[[ஈருறுப்புப் பரவல்]] பண்பளவைகள் ''n'', ''p'' கொண்ட தனித்த பரவல் ஆகும். இப் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:		[[ஈருறுப்புப் பரவல்]] பண்பளவைகள் ''n'', ''p'' கொண்ட தனித்த பரவல் ஆகும். இப் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:
	:<math>p(k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k},</math> (''k'' = 0, 1, 2, ..., ''n'')		:<math>p(k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k},</math> (''k'' = 0, 1, 2, ..., ''n'')
வரிசை 91:		வரிசை 91:
	:<math> \operatorname{Var}(X) = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} (k-np)^2 = np(1-p),</math>		:<math> \operatorname{Var}(X) = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} (k-np)^2 = np(1-p),</math>

	====நாணயம் சுண்டல்====		==நாணயம் சுண்டல்==
	<math>p=0.5</math> கொண்ட ஈருறுப்புப் பரவல் <math>n</math> முறை ஒரு [[நாணயம் சுண்டல்\|நாணயத்தைச் சுண்டும்]]போது <math>k</math> முறை ’தலை’ கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைத் தருகிறது.		<math>p=0.5</math> கொண்ட ஈருறுப்புப் பரவல் <math>n</math> முறை ஒரு [[நாணயம் சுண்டல்\|நாணயத்தைச் சுண்டும்]]போது <math>k</math> முறை ’தலை’ கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைத் தருகிறது.

	’கிடைக்கும் தலைகளின் எண்ணிக்கை’ என்ற சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரி (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு) <math alt="n/2">\frac{n}{2}</math>, பரவற்படி <math alt="n/4">\frac{n}{4}</math>.		’கிடைக்கும் தலைகளின் எண்ணிக்கை’ என்ற சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரி (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு) <math alt="n/2">\frac{n}{2}</math>, பரவற்படி <math alt="n/4">\frac{n}{4}</math>.

	===சீரான பகடை===		==சீரான பகடை==
	ஆறு முகங்கள் கொண்ட சீரான பகடை வீசப்படும்போது கிடைக்கக் கூடிய முடிவுகள் 1, 2, 3, 4, 5, 6. இம் முடிவுகள் கிடைக்கக்கூடிய ஆறு நிகழ்தகவுகளும் சமமானவை ( <math>\textstyle\frac{1}{6}</math>).		ஆறு முகங்கள் கொண்ட சீரான பகடை வீசப்படும்போது கிடைக்கக் கூடிய முடிவுகள் 1, 2, 3, 4, 5, 6. இம் முடிவுகள் கிடைக்கக்கூடிய ஆறு நிகழ்தகவுகளும் சமமானவை ( <math>\textstyle\frac{1}{6}</math>).

வரிசை 124:		வரிசை 124:
	==பண்புகள்==		==பண்புகள்==

	===அடிப்படைப் பண்புகள்===		==அடிப்படைப் பண்புகள்==
	*எப்பொழுதும் வர்க்கங்கள் சுழி அல்லது எதிர் இல்லா எண்களாக மட்டுமே இருக்கும் என்பதால் பரவற்படி எப்பொழுதும் நேர் எண்ணாகும்.		*எப்பொழுதும் வர்க்கங்கள் சுழி அல்லது எதிர் இல்லா எண்களாக மட்டுமே இருக்கும் என்பதால் பரவற்படி எப்பொழுதும் நேர் எண்ணாகும்.
	:<math>\operatorname{Var}(X)\ge 0.</math>		:<math>\operatorname{Var}(X)\ge 0.</math>
வரிசை 158:		வரிசை 158:
	</math>		</math>

	===ஒட்டுறவான மாறிகளின் கூடுதல்===		==ஒட்டுறவான மாறிகளின் கூடுதல்==

	*சமவாய்ப்பு மாறிகள் ஒட்டுறவு கொண்டவையாக இருந்தால் அவற்றின் கூடுதலின் பரவற்படி, அவற்றின் உடன்பரவற்படிகளின் கூடுதலாக இருக்கும்:		*சமவாய்ப்பு மாறிகள் ஒட்டுறவு கொண்டவையாக இருந்தால் அவற்றின் கூடுதலின் பரவற்படி, அவற்றின் உடன்பரவற்படிகளின் கூடுதலாக இருக்கும்:
வரிசை 170:		வரிசை 170:
	சாரா சமவாய்ப்பு மாறிகள் எப்பொழுதும் ஒட்டுறவு இல்லாதவை என்பதால் அவற்றுக்கு இப்பண்பு பொருந்தும்.		சாரா சமவாய்ப்பு மாறிகள் எப்பொழுதும் ஒட்டுறவு இல்லாதவை என்பதால் அவற்றுக்கு இப்பண்பு பொருந்தும்.

	===சாரா மாறிகளின் பெருக்கல்===		==சாரா மாறிகளின் பெருக்கல்==
	X மற்றும் Y சாரா சமவாய்ப்பு மாறிகள் எனில் அவற்றின் பெருக்குத்தொகையின் பரவற்படி அவற்றின் பரவற்படிகளின் பெருக்குத்தொகையாக அமையும்.<ref>[[Leo Goodman\|Goodman, Leo A.]], "On the exact variance of products," ''[[Journal of the American Statistical Association]]'', December 1960, 708–713.</ref><ref>Goodman, Leo A., "The variance of the product of K random variables," ''Journal of the American Statistical Association'', March 1962, 54ff.</ref>		X மற்றும் Y சாரா சமவாய்ப்பு மாறிகள் எனில் அவற்றின் பெருக்குத்தொகையின் பரவற்படி அவற்றின் பரவற்படிகளின் பெருக்குத்தொகையாக அமையும்.<ref>[[Leo Goodman\|Goodman, Leo A.]], "On the exact variance of products," ''[[Journal of the American Statistical Association]]'', December 1960, 708–713.</ref><ref>Goodman, Leo A., "The variance of the product of K random variables," ''Journal of the American Statistical Association'', March 1962, 54ff.</ref>

imported>BalajijagadeshBot: பராமரிப்பு using AWB

2019-06-01T11:20:32Z

பராமரிப்பு using AWB

புதிய பக்கம்

[[புள்ளியியல்]] மற்றும் [[நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு|நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில்]] '''பரவற்படி''' அல்லது '''மாறுபாட்டெண்''' என்பது (''variance''), ஒரு எண்தரவு எந்தளவு பரந்து கிடக்கிறது என்பதை அளவிடுகிறது. ஒரு எண்தரவின் பரவற்படி [[சுழி]] எனில் அத்தரவின் உறுப்பெண்கள் எல்லாம் சமமானவை ஆகும்.

சுழியல்லா பரவற்படியின் மதிப்பு எப்போதும் நேர் எண்ணாகவே அமையும். பரவற்படியின் மதிப்பு சிறியதாக இருந்தால் அத் தரவின் உறுப்புகள் தரவின் [[சராசரி]]க்கும் ([[எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு]]), தமக்குள்ளாகவும் நெருக்கமாக அமைந்திருக்கும்; பரவற்படியின் மதிப்பு பெரியதாக இருந்தால், தரவின் உறுப்புகள் சராசரியிலிருந்தும் தமக்குள்ளாகவும் கூடுதலாக விலகி அமைந்திருக்கும். பரவற்படியின் வர்க்கமூலம் [[திட்டவிலக்கம்]] அல்லது [[நியமவிலகல்]] என அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு [[நிகழ்தகவுப் பரவல்|நிகழ்தகவுப் பரவலின்]] விளக்கிகளில் (descriptors) ஒன்றாக பரவற்படி உள்ளது. குறிப்பாக பரவற்படியானது அப் பரவலின் [[மைய விலக்களவு|இரண்டாம் மைய விலக்களவாகும்]]. கண்டறியப்பட்ட முழுத்தொகுதி அல்லது கூறின், நிகழ்தகவுப் பரவலின் தன்மையை விளக்கும் அளவாகப் பரவற்படி உள்ளது.

==வரையறை==
[[சமவாய்ப்பு மாறி]] ''X'' இன் பரவற்படி, அதன் இரண்டாம் மைய விலக்களவு ஆகும். அதாவது சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரி {{nowrap|1 = ''μ'' = E[''X'']}} ஐப் பொறுத்த விலகல்களின் வர்க்கங்களின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பாக பரவற்படி அமையும்:
: <math> \operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^2 \right]. </math>
இந்த வரையறை [[தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி]]கள், [[தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி]]கள் மற்றும் இருவிதமாகவும் உள்ள சமவாய்ப்பு மாறிகளுக்குப் பொருந்தும். சமவாய்ப்பு மாறியின் [[உடன்மாறுபாட்டெண்]]ணாகவும் பரவற்படியைக் கொள்ளலாம்:
: <math>\operatorname{Var}(X) = \operatorname{Cov}(X, X).</math>

பரவற்படி, Var(''X''), <math>\scriptstyle\sigma_X^2</math> அல்லது சுருக்கமாக, σ2 (வாசிப்பு:சிக்மா ஸ்கொயர்ட்) எனக் குறிக்கப்படுகிறது. பரவற்படியின் வரையறையைக் கீழ்க்கண்டவாறு விரிக்கலாம்:
:<math>\begin{align}
\operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}\left[X^2 - 2X\operatorname{E}[X] + (\operatorname{E}[X])^2\right] \\
&= \operatorname{E}\left[X^2\right] - 2\operatorname{E}[X]\operatorname{E}[X] + (\operatorname{E}[X])^2 \\
&= \operatorname{E}\left[X^2 \right] - (\operatorname{E}[X])^2
\end{align}</math>

===தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி===

தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி ''X'' இன் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு ''f''(''x'') எனில் அதன் பரவற்படி:

:<math>\operatorname{Var}(X) =\sigma^2 =\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx\, =\int x^2 \, f(x) \, dx\, - \mu^2</math>
இதில் வரும்,
*[[தொகையீடு]]கள் வரையறுத்த தொகையீடுகள் ஆகும். இத் தொகையீட்டின் எல்லைகள், சமவாய்ப்பு மாறி  ''X'' இன் வீச்சாக அமையும்.
*எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு <math>\mu</math> இன் வாய்ப்பாடு:
:<math>\mu = \int x \, f(x) \, dx\, .</math>

[[கோஷியின் பரவல்]] போன்று எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு கொண்டிராத தொடர் பரவலுக்கு பரவற்படியும் இருக்காது. மேலும் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு கொண்டிராத வேறுபல பரவல்களுக்கு பரவற்படியின் வாய்ப்பாட்டிலுள்ள தொகையீடு விரிவதால், பரவற்படி முடிவுறு எண்ணாக இருக்காது.

===தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி===

தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி ''X'' இன் [[நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு]] ''x''1 ↦ ''p''1, ..., ''x''''n'' ↦ ''p''''n'' எனில் அதன் பரவற்படி:

:<math>\operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n (p_i\cdot x_i^2) - \mu^2</math>

இதில் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு <math>\mu</math> இன் வாய்ப்பாடு:
:<math>\mu = \sum_{i=1}^n p_i\cdot x_i </math>.

சம நிகழ்தகவு கொண்ட ''n'' மதிப்புகளின் பரவற்படி:
:<math> \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2. </math>

சம நிகழ்தகவு கொண்ட ''n'' மதிப்புகளின் பரவற்படியை அவற்றின் சராசரியைப் பயன்படுத்தாமலேயே கீழ்க்காண்டவாறு காணமுடியும்:<ref>{{cite conference|authors=Yuli Zhang,Huaiyu Wu,Lei Cheng|title=Some new deformation formulas about variance and covariance|conference=Proceedings of 4th International Conference on Modelling, Identification and Control(ICMIC2012)|year=2012|month=June|pages=987-992}}</ref>
:<math> \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{1}{2}(x_i - x_j)^2. </math>

==எடுத்துக்காட்டுகள்==

===இயல்நிலைப் பரவல்===
[[இயல்நிலைப் பரவல்]] μ மற்றும் σ வைப் பண்பளவைகளாகக் கொண்ட தொடர் பரவலாகும். இப்பரவலின் [[நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு]]:
:<math>
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }.
</math>
இயல்நிலைப் பரவலின் சராசரி μ மற்றும் பரவற்படி:
:<math>
\operatorname{Var}(X) = \int_{-\infty}^\infty \frac{(x - \mu)^2}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, dx = \sigma^2.
</math>
புள்ளியியலிலும் நிகழ்தகவிலும் பரவற்படி காணப்படுவதற்குக் காரணம் [[மைய எல்லைத் தேற்றம்|மைய எல்லைத் தேற்றத்தில்]] இயல்நிலைப் பரவல் ஏற்கும் பங்காகும்.

===அடுக்குக்குறிப் பரவல்===
[[அடுக்குக்குறிப் பரவல்]] [0,∞) [[இடைவெளி (கணிதம்)|இடைவெளியில்]] பண்பளவை λ கொண்ட தொடர் பரவல் ஆகும். இப்பரவலின் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு:

:<math>f(x) = \lambda e^{-\lambda x},\,</math>

அடுக்குக்குறிப் பரவலின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு μ = λ−1 மற்றும் அதன் பரவற்படி:

:<math> \operatorname{Var}(X) = \int_0^\infty (x - \lambda^{-1})^2 \, \lambda e^{-\lambda x} dx = \lambda^{-2}.\,</math>

எனவே அடுக்குறிப் பரவலைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு மாறிக்கு σ2 = μ2 என அமையும்.

===பாய்சான் பரவல்===
[[பாய்சான் பரவல்]] பண்பளவை λ கொண்ட தனித்த பரவலாகும். இப் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:

:<math>p(k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda},</math> (''k'' = 0, 1, 2, ... )

பாய்சான் பரவலின் சராசரி (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு) μ = λ.

பரவற்படி:

:<math> \operatorname{Var}(X) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} (k-\lambda)^2 = \lambda,</math>

எனவே பாய்சான் பரவலைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு மாறிக்கு, :σ2 = μ.

===ஈருறுப்புப் பரவல்===
[[ஈருறுப்புப் பரவல்]] பண்பளவைகள் ''n'', ''p'' கொண்ட தனித்த பரவல் ஆகும். இப் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:
:<math>p(k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k},</math> (''k'' = 0, 1, 2, ..., ''n'')

இப் பரவலின் சராசரி (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு) μ = ''np''.

பரவற்படி:
:<math> \operatorname{Var}(X) = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} (k-np)^2 = np(1-p),</math>

====நாணயம் சுண்டல்====
<math>p=0.5</math> கொண்ட ஈருறுப்புப் பரவல் <math>n</math> முறை ஒரு [[நாணயம் சுண்டல்|நாணயத்தைச் சுண்டும்]]போது <math>k</math> முறை ’தலை’ கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைத் தருகிறது.

’கிடைக்கும் தலைகளின் எண்ணிக்கை’ என்ற சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரி (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு) <math alt="n/2">\frac{n}{2}</math>, பரவற்படி <math alt="n/4">\frac{n}{4}</math>.

===சீரான பகடை===
ஆறு முகங்கள் கொண்ட சீரான பகடை வீசப்படும்போது கிடைக்கக் கூடிய முடிவுகள் 1, 2, 3, 4, 5, 6. இம் முடிவுகள் கிடைக்கக்கூடிய ஆறு நிகழ்தகவுகளும் சமமானவை ( <math>\textstyle\frac{1}{6}</math>).

சமவாய்ப்பு மாறியாகப் ’பகடையை வீசும்போது கிடைக்கும் எண்’ எனக் கொண்டால் அச் சமவாய்ப்பு மாறியின் நிகழ்தவுப் பரவல் ஒரு தனித்த பரவலாகும்.

அதன் சராசரி (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு): (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3.5.

பரவற்படி:

:<math>
\begin{align}
\sum_{i=1}^6 \tfrac{1}{6}(i - 3.5)^2 = \tfrac{1}{6}\sum_{i=1}^6 (i - 3.5)^2 & = \tfrac{1}{6}\left((-2.5)^2{+}(-1.5)^2{+}(-0.5)^2{+}0.5^2{+}1.5^2{+}2.5^2\right) \\
& = \tfrac{1}{6} \cdot 17.50 = \tfrac{35}{12} \approx 2.92.
\end{align}
</math>

''n'' முகங்கள் கொண்ட சீரான பகடையை வீசும்போது நிகழும் விளைவு ''X'' இன் பரவற்படி காணும் வாய்ப்பாடு:
:<math>
\begin{align}
\sigma^2=E(X^2)-(E(X))^2
&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i^2-\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i\right)^2 \\
&=\tfrac 16 (n+1)(2n+1) - \tfrac 14 (n+1)^2\\
&=\frac{ n^2-1 }{12}.
\end{align}
</math>

==பண்புகள்==

===அடிப்படைப் பண்புகள்===
*எப்பொழுதும் வர்க்கங்கள் சுழி அல்லது எதிர் இல்லா எண்களாக மட்டுமே இருக்கும் என்பதால் பரவற்படி எப்பொழுதும் நேர் எண்ணாகும்.
:<math>\operatorname{Var}(X)\ge 0.</math>

*[[மாறிலி (கணிதம்)|மாறிலியாக]] அமையும் சமவாய்ப்பு மாறியின் பரவற்படி சுழியாக இருக்கும். ஒரு தரவின் பரவற்படி சுழி எனில் அத்தரவின் உறுப்புகள் அனைத்தும் சமமான மதிப்புடையவை

:<math>P(X=a) = 1\Leftrightarrow \operatorname{Var}(X)= 0.</math>

*தரவின் ஒவ்வொரு உறுப்புடனும் ஒரு குறிப்பிட்ட மாறிலி சேர்க்கப்பட்டாலும் அத் தரவின் பரவற்படியில் மாற்றம் இருக்காது.
:<math>\operatorname{Var}(X+a)=\operatorname{Var}(X).</math>

*தரவின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரு குறிப்பிட்ட மாறிலியால் பெருக்கப்பட்டால் அத் தரவின் பரவற்படி, அந்த மாறிலியின் வர்க்கத்தால் பெருக்கப்படும்.
:<math>\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X).</math>

*இரு சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதலின் பரவற்படி:
:<math>\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y),</math>

:<math>\operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)-2\, \operatorname{Cov}(X,Y),</math>

இதில் Cov(., .), உடன்பரவற்படியைக் குறிக்கிறது.

பொதுவாக, <math>N</math> சமவாய்ப்பு மாறிகள் <math>\{X_1,\dots,X_N\}</math> இன் கூடுதலின் பரவற்படி:
:<math>\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^N X_i\right)=\sum_{i,j=1}^N\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=\sum_{i=1}^N\operatorname{Var}(X_i)+\sum_{i\ne j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j).</math>

இந்த முடிவுகளிலிருந்து, நேரியல் சேர்வாக அமையும் சமவாய்ப்பு மாறியின் பரவற்படி:

:<math>
\begin{align}
\operatorname{Var}\left( \sum_{i=1}^{N} a_iX_i\right) &=\sum_{i,j=1}^{N} a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j) \\
&=\sum_{i=1}^{N}a_i^2\operatorname{Var}(X_i)+\sum_{i\not=j}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j)\\
& =\sum_{i=1}^{N}a_i^2\operatorname{Var}(X_i)+2\sum_{1\le i<j\le N}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j).
\end{align}
</math>

===ஒட்டுறவான மாறிகளின் கூடுதல்===

*சமவாய்ப்பு மாறிகள் ஒட்டுறவு கொண்டவையாக இருந்தால் அவற்றின் கூடுதலின் பரவற்படி, அவற்றின் உடன்பரவற்படிகளின் கூடுதலாக இருக்கும்:

:<math>\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \operatorname{Cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{1\le i}\sum_{<j\le n}\operatorname{Cov}(X_i,X_j).</math>

*சமவாய்ப்பு மாறிகள் <math>X_1,\dots,X_N</math> ஒன்றுக்கொன்று [[ஒட்டுறவு]] இல்லாதவை எனில் (<math>\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=0\ ,\ \forall\ (i\ne j) ,</math>) அவற்றின் கூடுதலின் பரவற்படி அவற்றின் பரவற்படிகளின் கூடுதலுக்குச் சமம்:

:<math>\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^N X_i\right)=\sum_{i=1}^N\operatorname{Var}(X_i).</math>

சாரா சமவாய்ப்பு மாறிகள் எப்பொழுதும் ஒட்டுறவு இல்லாதவை என்பதால் அவற்றுக்கு இப்பண்பு பொருந்தும்.

===சாரா மாறிகளின் பெருக்கல்===
X மற்றும் Y சாரா சமவாய்ப்பு மாறிகள் எனில் அவற்றின் பெருக்குத்தொகையின் பரவற்படி அவற்றின் பரவற்படிகளின் பெருக்குத்தொகையாக அமையும்.<ref>[[Leo Goodman|Goodman, Leo A.]], "On the exact variance of products," ''[[Journal of the American Statistical Association]]'', December 1960, 708–713.</ref><ref>Goodman, Leo A., "The variance of the product of K random variables," ''Journal of the American Statistical Association'', March 1962, 54ff.</ref>

:<math>
\begin{align}
\operatorname{Var}(XY) &= [E(X)]^{2}\operatorname{Var}(Y) + [E(Y)]^{2}\operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y) \\
&= E(X^2) E(Y^2) - [E(X)]^{2} [E(Y)]^{2}.
\end{align}</math>

==மேற்கோள்கள்==
{{Reflist|30em}}

[[பகுப்பு:நிகழ்தகவு]]
[[பகுப்பு:புள்ளியியல்]]