https://wiki1.tamilar.wiki/w/index.php?action=history&feed=atom&title=%E0%AE%AA%E0%AE%B2%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%8B%E0%AE%A3_%E0%AE%8E%E0%AE%A3%E0%AF%8D
பல்கோண எண் - திருத்த வரலாறு
2026-06-05T07:06:33Z
விக்கியில் இப்பக்கத்துக்கான திருத்த வரலாறு
MediaWiki 1.43.6
https://wiki1.tamilar.wiki/w/index.php?title=%E0%AE%AA%E0%AE%B2%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%8B%E0%AE%A3_%E0%AE%8E%E0%AE%A3%E0%AF%8D&diff=428226&oldid=prev
imported>BalajijagadeshBot: பராமரிப்பு using AWB
2019-05-30T05:47:35Z
<p>பராமரிப்பு using <a href="/w/index.php?title=%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AE%BF%E0%AE%B4%E0%AE%B0%E0%AF%8D%E0%AE%B5%E0%AE%BF%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AE%BF:AWB&action=edit&redlink=1" class="new" title="தமிழர்விக்கி:AWB (கட்டுரை எழுதப்படவில்லை)">AWB</a></p>
<p><b>புதிய பக்கம்</b></p><div>[[கணிதம்|கணிதத்தில்]], ஒரு '''பல்கோண எண் (Polygonal number)''' என்பது, ஒழுங்கான [[பல்கோணம்|பல்கோண]] வடிவில் ஒழுங்குபடுத்தக்கூடிய ஒரு [[எண்]]ணாகும். பண்டைய [[கணிதவியலாளர்]]கள், எண்கள் கற்கள், விதைகள் போன்றவற்றால் குறிக்கப்படும்போது, அவற்றைக் குறிக்கப்பட்ட விதங்களில் ஒழுங்குபடுத்த முடியும் எனக் கண்டறிந்தனர். எடுத்துக்காட்டாக எண் 10 ஐ, ஒரு [[முக்கோணம்|முக்கோண]]மாக ஒழுங்குபடுத்தமுடியும் ([[முக்கோண எண்]] பார்க்கவும்):<br />
<br />
:{|<br />
| align="center" | [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />
|}<br />
<br />
ஆனால் 10 ஐ ஒரு [[சதுரம்|சதுரமாக]] அடுக்கமுடியாது. எண் 9 ஐ அவ்வாறு அடுக்கமுடியும். ([[சதுர எண்]] பார்க்கவும்):<br />
<br />
:{|<br />
| align="center" | [[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br />
|}<br />
<br />
36 போன்ற சில எண்களைச் சதுரமாகவும், முக்கோணமாகவும் அடுக்கமுடியும். ( [[முக்கோண சதுர எண்]]):<br />
<br />
:{|<br />
|- align="center" valign="bottom"<br />
|[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br />
|<br />
|[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />
|}<br />
<br />
ஒரு பல்கோணத்தின் இரு அடுத்துள்ள பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு புள்ளியை அதிகப்படுத்தி அப்புள்ளிகளுக்கிடையே மற்ற தேவையான பக்கங்களைச் சேர்த்தால் இதற்கு அடுத்த அளவுப் பல்கோணம் கிடைக்கும். கீழேயுள்ள படங்களில் புதிதாகச் சேர்க்கப்பட்ட புள்ளிகள் சிவப்பு நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.<br />
<br />
==பல்கோண எண்களின் வகைகள் சில==<br />
<br />
'''முக்கோண எண்கள்'''<br />
<br />
[[படிமம்:Polygonal Number 3.gif|450px]]<br />
<br />
'''சதுர எண்கள்'''<br />
<br />
[[படிமம்:Polygonal Number 4.gif|450px]]<br />
<br />
ஐங்கோணி, அறுகோணி போன்ற கூடிய பக்கங்களைக்கொண்ட பல்கோணிகளும் புள்ளிகளின் அடுக்காகக் காட்டப்படக்கூடியவை. (convention படி, எத்தனை பக்கங்கொண்ட பல்கோணிக்கும் 1 முதலாவது பல்கோண எண்ணாகும்).<br />
<br />
[[ஐங்கோண எண்]]கள்:<br />
<br />
[[படிமம்:Polygonal Number 5.gif|500px]]<br />
<br />
[[அறுகோண எண்]]கள்<br />
<br />
[[படிமம்:Polygonal Number 6.gif|450px]]<br />
<br />
36: (இது [[முக்கோண எண்]]ணும், ஒரு [[சதுர எண்]]ணுமாகும்.)<br />
<br />
[[படிமம்:TriSquare36.svg|450px]]<br />
<br />
==வாய்ப்பாடு==<br />
''s'' -பலகோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை எனில்,<br />
<br />
''n'' -வது ''s''-கோண எண், ''P''(''s'',''n'') காணும் வாய்ப்பாடு:<br />
<br />
:<math>P(s,n) = {(\frac{s}{2}-1)n^2-(\frac{s}{2}-2)n}\, .</math><br />
<br />
''n''-வது ''s''- கோண எண்ணுக்கும் முக்கோண எண் ''T''<sub>''n''</sub> -க்குமுள்ள தொடர்பு:<br />
<br />
:<math>P(s,n) = (s-2)T_{n-1} + n = (s-3)T_{n-1} + T_n\, .</math><br />
<br />
எனவே:<br />
<br />
:<math>P(s,n+1)-P(s,n) = (s-2)n + 1\, ,</math><br />
<br />
:<math>P(s+1,n) - P(s,n) = T_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}\, .</math><br />
<br />
தரப்பட்ட ''s''-கோண எண் ''P''(''s'',''n'') = ''x'' எனில்<br />
<br />
:<math>n = \frac{\sqrt{(8s-16)x+(s-4)^2}+s-4}{2s-4}.</math><br />
<br />
==அட்டவணை==<br />
<br />
<table border="3" cellpadding="3"><tr><b><br />
<td align=center>பெயர்</td><td align=center>Formula</td><td align=center>''n''=1</td><td align=center>2</td><td align=center>3</td><td align=center>4</td><td align=center>5</td><td align=center>6</td><td align=center>7</td><td align=center>8</td><td align=center>9</td><td align=center>10</td><td align=center>11</td><td align=center>12</td><td align=center>13</td></b></tr><br />
<tr><td align=center>[[முக்கோணம்]]</td><td align=center>½''n''(1''n'' + 1)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>3</td><td align=right>6</td><td align=right>10</td><td align=right>15</td><td align=right>21</td><td align=right>28</td><td align=right>36</td><td align=right>45</td><td align=right>55</td><td align=right>66</td><td align=right>78</td><td align=right>91</td></tr><br />
<tr><td align=center>[[சதுரம்]]</td><td align=center>½''n''(2''n'' - 0)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>4</td><td align=right>9</td><td align=right>16</td><td align=right>25</td><td align=right>36</td><td align=right>49</td><td align=right>64</td><td align=right>81</td><td align=right>100</td><td align=right>121</td><td align=right>144</td><td align=right>169</td></tr><br />
<tr><td align=center>[[ஐங்கோணம்]]</td><td align=center>½''n''(3''n'' - 1)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>5</td><td align=right>12</td><td align=right>22</td><td align=right>35</td><td align=right>51</td><td align=right>70</td><td align=right>92</td><td align=right>117</td><td align=right>145</td><td align=right>176</td><td align=right>210</td><td align=right>247</td></tr><br />
<tr><td align=center>[[அறுகோணம்]]</td><td align=center>½''n''(4''n'' - 2)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>6</td><td align=right>15</td><td align=right>28</td><td align=right>45</td><td align=right>66</td><td align=right>91</td><td align=right>120</td><td align=right>153</td><td align=right>190</td><td align=right>231</td><td align=right>276</td><td align=right>325</td></tr><br />
<tr><td align=center>[[எழுகோணம்]]</td><td align=center>½''n''(5''n'' - 3)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>7</td><td align=right>18</td><td align=right>34</td><td align=right>55</td><td align=right>81</td><td align=right>112</td><td align=right>148</td><td align=right>189</td><td align=right>235</td><td align=right>286</td><td align=right>342</td><td align=right>403</td></tr><br />
<tr><td align=center>[[எண்கோணம்]]</td><td align=center>½''n''(6''n'' - 4)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>8</td><td align=right>21</td><td align=right>40</td><td align=right>65</td><td align=right>96</td><td align=right>133</td><td align=right>176</td><td align=right>225</td><td align=right>280</td><td align=right>341</td><td align=right>408</td><td align=right>481</td></tr><br />
<tr><td align=center>[[நவகோணம்]]</td><td align=center>½''n''(7''n'' - 5)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>9</td><td align=right>24</td><td align=right>46</td><td align=right>75</td><td align=right>111</td><td align=right>154</td><td align=right>204</td><td align=right>261</td><td align=right>325</td><td align=right>396</td><td align=right>474</td><td align=right>559</td></tr><br />
<tr><td align=center>[[தசகோணம்]]</td><td align=center>½''n''(8''n'' - 6)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>10</td><td align=right>27</td><td align=right>52</td><td align=right>85</td><td align=right>126</td><td align=right>175</td><td align=right>232</td><td align=right>297</td><td align=right>370</td><td align=right>451</td><td align=right>540</td><td align=right>637</td></tr><br />
<tr><td align=center>11-கோணம்</td><td align=center>½''n''(9''n'' - 7)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>11</td><td align=right>30</td><td align=right>58</td><td align=right>95</td><td align=right>141</td><td align=right>196</td><td align=right>260</td><td align=right>333</td><td align=right>415</td><td align=right>506</td><td align=right>606</td><td align=right>715</td></tr><br />
<tr><td align=center>12-கோணம்</td><td align=center>½''n''(10''n'' - 8)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>12</td><td align=right>33</td><td align=right>64</td><td align=right>105</td><td align=right>156</td><td align=right>217</td><td align=right>288</td><td align=right>369</td><td align=right>460</td><td align=right>561</td><td align=right>672</td><td align=right>793</td></tr><br />
<tr><td align=center>13-கோணம்</td><td align=center>½''n''(11''n'' - 9)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>13</td><td align=right>36</td><td align=right>70</td><td align=right>115</td><td align=right>171</td><td align=right>238</td><td align=right>316</td><td align=right>405</td><td align=right>505</td><td align=right>616</td><td align=right>738</td><td align=right>871</td></tr><br />
<tr><td align=center>14-கோணம்</td><td align=center>½''n''(12''n'' - 10)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>14</td><td align=right>39</td><td align=right>76</td><td align=right>125</td><td align=right>186</td><td align=right>259</td><td align=right>344</td><td align=right>441</td><td align=right>550</td><td align=right>671</td><td align=right>804</td><td align=right>949</td></tr><br />
<tr><td align=center>15-கோணம்</td><td align=center>½''n''(13''n'' - 11)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>15</td><td align=right>42</td><td align=right>82</td><td align=right>135</td><td align=right>201</td><td align=right>280</td><td align=right>372</td><td align=right>477</td><td align=right>595</td><td align=right>726</td><td align=right>870</td><td align=right>1027</td></tr><br />
<tr><td align=center>16-கோணம்</td><td align=center>½''n''(14''n'' - 12)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>16</td><td align=right>45</td><td align=right>88</td><td align=right>145</td><td align=right>216</td><td align=right>301</td><td align=right>400</td><td align=right>513</td><td align=right>640</td><td align=right>781</td><td align=right>936</td><td align=right>1105</td></tr><br />
<tr><td align=center>17-கோணம்</td><td align=center>½''n''(15''n'' - 13)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>17</td><td align=right>48</td><td align=right>94</td><td align=right>155</td><td align=right>231</td><td align=right>322</td><td align=right>428</td><td align=right>549</td><td align=right>685</td><td align=right>836</td><td align=right>1002</td><td align=right>1183</td></tr><br />
<tr><td align=center>18-கோணம்</td><td align=center>½''n''(16''n'' - 14)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>18</td><td align=right>51</td><td align=right>100</td><td align=right>165</td><td align=right>246</td><td align=right>343</td><td align=right>456</td><td align=right>585</td><td align=right>730</td><td align=right>891</td><td align=right>1068</td><td align=right>1261</td></tr><br />
<tr><td align=center>19-கோணம்</td><td align=center>½''n''(17''n'' - 15)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>19</td><td align=right>54</td><td align=right>106</td><td align=right>175</td><td align=right>261</td><td align=right>364</td><td align=right>484</td><td align=right>621</td><td align=right>775</td><td align=right>946</td><td align=right>1134</td><td align=right>1339</td></tr><br />
<tr><td align=center>20-கோணம்</td><td align=center>½''n''(18''n'' - 16)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>20</td><td align=right>57</td><td align=right>112</td><td align=right>185</td><td align=right>276</td><td align=right>385</td><td align=right>512</td><td align=right>657</td><td align=right>820</td><td align=right>1001</td><td align=right>1200</td><td align=right>1417</td></tr><br />
<tr><td align=center>21-கோணம்</td><td align=center>½''n''(19''n'' - 17)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>21</td><td align=right>60</td><td align=right>118</td><td align=right>195</td><td align=right>291</td><td align=right>406</td><td align=right>540</td><td align=right>693</td><td align=right>865</td><td align=right>1056</td><td align=right>1266</td><td align=right>1495</td></tr><br />
<tr><td align=center>22-கோணம்</td><td align=center>½''n''(20''n'' - 18)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>22</td><td align=right>63</td><td align=right>124</td><td align=right>205</td><td align=right>306</td><td align=right>427</td><td align=right>568</td><td align=right>729</td><td align=right>910</td><td align=right>1111</td><td align=right>1332</td><td align=right>1573</td></tr><br />
<tr><td align=center>23-கோணம்</td><td align=center>½''n''(21''n'' - 19)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>23</td><td align=right>66</td><td align=right>130</td><td align=right>215</td><td align=right>321</td><td align=right>448</td><td align=right>596</td><td align=right>765</td><td align=right>955</td><td align=right>1166</td><td align=right>1398</td><td align=right>1651</td></tr><br />
<tr><td align=center>24-கோணம்</td><td align=center>½''n''(22''n'' - 20)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>24</td><td align=right>69</td><td align=right>136</td><td align=right>225</td><td align=right>336</td><td align=right>469</td><td align=right>624</td><td align=right>801</td><td align=right>1000</td><td align=right>1221</td><td align=right>1464</td><td align=right>1729</td></tr><br />
<tr><td align=center>25-கோணம்</td><td align=center>½''n''(23''n'' - 21)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>25</td><td align=right>72</td><td align=right>142</td><td align=right>235</td><td align=right>351</td><td align=right>490</td><td align=right>652</td><td align=right>837</td><td align=right>1045</td><td align=right>1276</td><td align=right>1530</td><td align=right>1807</td></tr><br />
<tr><td align=center>26-கோணம்</td><td align=center>½''n''(24''n'' - 22)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>26</td><td align=right>75</td><td align=right>148</td><td align=right>245</td><td align=right>366</td><td align=right>511</td><td align=right>680</td><td align=right>873</td><td align=right>1090</td><td align=right>1331</td><td align=right>1596</td><td align=right>1885</td></tr><br />
<tr><td align=center>27-கோணம்</td><td align=center>½''n''(25''n'' - 23)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>27</td><td align=right>78</td><td align=right>154</td><td align=right>255</td><td align=right>381</td><td align=right>532</td><td align=right>708</td><td align=right>909</td><td align=right>1135</td><td align=right>1386</td><td align=right>1662</td><td align=right>1963</td></tr><br />
<tr><td align=center>28-கோணம்</td><td align=center>½''n''(26''n'' - 24)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>28</td><td align=right>81</td><td align=right>160</td><td align=right>265</td><td align=right>396</td><td align=right>553</td><td align=right>736</td><td align=right>945</td><td align=right>1180</td><td align=right>1441</td><td align=right>1728</td><td align=right>2041</td></tr><br />
<tr><td align=center>29-கோணம்</td><td align=center>½''n''(27''n'' - 25)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>29</td><td align=right>84</td><td align=right>166</td><td align=right>275</td><td align=right>411</td><td align=right>574</td><td align=right>764</td><td align=right>981</td><td align=right>1225</td><td align=right>1496</td><td align=right>1794</td><td align=right>2119</td></tr><br />
<tr><td align=center>30-கோணம்</td><td align=center>½''n''(28''n'' - 26)</td><br />
<td align=right>1</td><td align=right>30</td><td align=right>87</td><td align=right>172</td><td align=right>285</td><td align=right>426</td><td align=right>595</td><td align=right>792</td><td align=right>1017</td><td align=right>1270</td><td align=right>1551</td><td align=right>1860</td><td align=right>2197</td></tr><br />
</table><br />
<br />
== ஆதாரங்கள் ==<br />
<br />
*''The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers'', David Wells (Penguin Books, 1997) [{{ISBN|0140261494}}].<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/PolygonalNumber.html MathWorldல் பல்கோண எண்கள்]<br />
<br />
[[பகுப்பு:வடிவ எண்கள்]]<br />
<br />
[[ru:Последовательность двенадцатиугольника]]</div>
imported>BalajijagadeshBot