Mala: "முதல் ஆறு முக்கோண எண்கள். வடிவவியலில் '''முக்கோண எண்''' (''triangular number'') என்பது வடிவ எண்களில் ஒரு வகையாகும். படத்தில..."-இப்பெயரில் புதிய பக்கம் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது

2025-11-15T22:11:48Z

"thumb|முதல் ஆறு முக்கோண எண்கள். வடிவவியலில் '''முக்கோண எண்''' (''triangular number'') என்பது வடிவ எண்களில் ஒரு வகையாகும். படத்தில..."-இப்பெயரில் புதிய பக்கம் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது

← பழைய திருத்தம்		22:11, 15 நவம்பர் 2025 இல் நிலவும் திருத்தம்
(வேறுபாடு ஏதுமில்லை)

imported>Booradleyp1: added Category:வார்த்தைகளற்ற நிறுவல்கள் using HotCat

2024-04-08T05:18:59Z

added Category:வார்த்தைகளற்ற நிறுவல்கள் using HotCat

புதிய பக்கம்

[[File:First six triangular numbers.svg|thumb|முதல் ஆறு முக்கோண எண்கள்.]]
[[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]] '''முக்கோண எண்''' (''triangular number'') என்பது [[வடிவ எண்]]களில் ஒரு வகையாகும். படத்தில் உள்ளவாறு, ஒரு '''முக்கோண எண்''' என்பது ஒரு சமபக்க [[முக்கோணம்|முக்கோண]] வடிவில் ஒழுங்குபடுத்தத்தக்க ஒரு [[எண்]]ணாகும். (மரபின்படி, முதலாவது முக்கோண எண் 1 ஆகும்.) ''n'' -ஆம் முக்கோண எண் என்பது ஒரு பக்கத்திற்கு ''n'' புள்ளிகளெனக் கொண்ட சமபக்க முக்கோணத்துக்குள் அமையும் மொத்தப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையாகும். ஒவ்வொரு வரிசையும் அதற்கு முன்னுள்ள வரிசையைக்காட்டிலும் ஒரு அலகு கூடுதலாக உள்ளது. இதன் மூலம் முதல் முக்கோண எண் 1; இரண்டாம் முக்கோண எண் 1+ 2 = 3; மூன்றாம் முக்கோண எண் 1 + 2 + 3 = 6;.... என [[இயல் எண்]] களின் கூட்டுத்தொகையாக ஒவ்வொரு முக்கோண எண்ணும் அமைவதைக் காணலாம். ''n'' -ஆம் முக்கோண எண்ணின் மதிப்பு 1 முதல் ''n'' வரையிலான இயல் எண்களின் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூடுதலுக்குச்]] சமமாக இருக்கும்.

முக்கோண எண்களின் தொடர்வரிசை {{OEIS|id=A000217}}:
: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,.....

== வாய்பாடு ==
*''n'' -ஆம் முக்கோண எண்ணின் மதிப்பு 1 முதல் ''n'' வரையிலான இயல் எண்களின் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூடுதலுக்குச்]] சமம் என்பதால் முக்கோண எண்களுக்கான மீள்வரு வாய்ப்பாடு:

:<math>T_n= \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2}</math>

இவ்வாய்பாட்டை [[வார்த்தைகளற்ற நிறுவல்|காட்சி நிறுவல்]] மூலம் விளக்கலாம்.<ref>{{cite web|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/triangular-numbers.html|title=Triangular Number Sequence|website=Math Is Fun}}</ref>வலது இறுதியில் உள்ளது ஒரு [[ஈருறுப்புக் கெழு]]. இக்கெழு, ''n'' + 1 பொருள்களில் இருந்து தேர்ந்தெடுக்கக்கூடிய சோடிகளின் எண்ணிக்கையைத் தருகிறது. [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கலில்]] உள்ள [[தொடர் பெருக்கம்|தொடர் பெருக்கத்தைப்]] போன்றவை கூட்டலுக்கு முக்கோண எண்கள். தொடர் பெருக்கம் ''n'' !, 1 முதல் ''n'' வரையிலான இயல் எண்களின் பெருக்கலுக்குச் சமம். முக்கோண எண் <math>T_n, </math> 1 முதல் ''n'' வரையிலான இயல் எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

*ஒவ்வொரு [[புள்ளி]]யையும் இணைத்து வரையக் கூடிய [[கோடு]]களின் எண்ணிக்கையைப் பின்வரும் வாய்ப்பாடு மூலம் காணலாம்:
:<math>L_n = L_{n-1} + 3(n-1)</math>

புள்ளிகள் மற்றும் இக்கோடுகளின் எண்ணிக்கைகளுக்கு இடையிலான [[விகிதம்|விகிதத்தின்]] குறிப்பிடத்தக்கதொரு பண்பு:
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{T_n}{L_n} = \frac{1}{3}</math>

ஒவ்வொரு முக்கோண எண் <math>T_n</math> க்கும், அதற்குச் சமமான என்ணிக்கையிலான பொருட்களை கீழேயுள்ள படத்திலுள்ளதுபோல ஒரு அரைச்-செவ்வக வடிவில் அமைப்பதாகக் கொள்ளலாம். இதே அமைப்பின் படிமத்தைச் சுழற்றி முழுச் செவ்வகமாக உருவாக்கினால் அதிலுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கை இரட்டிப்பாவதோடு அச்செவ்வகத்தின் அளவானது <math>n \times (n+1)</math> ஆக இருக்கும். மேலும் <math>n \times (n+1)</math> இன் மதிப்பு செவ்வகத்திலுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகவும் இருக்கும். எனவே:
: <math>T_n = \frac{n(n+1)}{2} </math>.
[[File:Illustration of Triangular Number T 4 Leading to a Rectangle (yellow-green).svg|thumb]]
எடுத்துக்காட்டு:
:<math> 2T_4 = 4(4+1) = 20 </math> (பச்சையும் மஞ்சளும்)
:<math>T_4 = \frac{4(4+1)}{2} = 10 </math> (பச்சை)

இவ்வாய்பாட்டை [[கணிதத் தொகுத்தறிதல்]] முறையில் நிறுவமுடியும்.<ref>{{cite book |last=Spivak |first=Michael |author-link=Michael Spivak |date=2008 |title=Calculus |edition=4th |url=https://books.google.com/books?id=7JKVu_9InRUC&pg=PA21 |location=Houston, Texas |publisher=Publish or Perish |pages=21–22 |isbn=978-0-914098-91-1}}</ref>

:<math>n=1</math> எனில், இவ்வாய்பாடு உண்மையாவதை எளிதாகக் காணலாம்:
<math display=block>T_1 = \sum_{k=1}^{1}k = \frac{1(1 + 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.</math>

<math>m</math> என்ற இயலெண்ணுக்கு இவ்வாய்ப்பாடு மெய் என எடுத்துக்கொள்ள:
:<math>T_m = \sum_{k=1}^{m}k = \frac{m(m + 1)}{2}</math>.
:இருபுறமும் <math>m + 1</math> ஐக் கூட்டக் கிடைப்பது:

<math display=block>
\begin{align}
\sum_{k=1}^{m}k + (m + 1) &= \frac{m(m + 1)}{2} + m + 1\\
&= \frac{m(m + 1) + 2m + 2}{2}\\
&= \frac{m^2 + m + 2m + 2}{2}\\
&= \frac{m^2 + 3m + 2}{2}\\
&= \frac{(m + 1)(m + 2)}{2},
\end{align}
</math>

அதாவது, வாய்பாடு <math>m</math> என்ற மதிப்பிற்கு உண்மையாக இருக்கும்போது அது <math>m+1</math> மதிப்பிற்கும் உண்மையாகிறது.

எனவே, கணிதத்தொகுத்தறிதலின்படி வாய்பாடு அனைத்து இயலெண் மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாகும்.

== வரலாறு ==
செருமானிய கணிதவியலாளர் [[கார்ல் பிரீடிரிக் காஸ்]], அவரது இளமைக்காலத்தில் இதனைக் கண்டறிந்ததாகக் கூறப்படுகிறது.<ref name=Gauss>{{cite web |last=Hayes |first=Brian |title=Gauss's Day of Reckoning |url=http://www.americanscientist.org/issues/pub/gausss-day-of-reckoning/1 |website=American Scientist |publisher=Computing Science |access-date=2014-04-16 |archive-date=2015-04-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150402141244/http://www.americanscientist.org/issues/pub/gausss-day-of-reckoning/1 }}</ref> எனினும் இதனை முதன்முதலாகக் கண்டறிந்தவர் காஸ் அல்ல. கிமு 5 ஆம் நூற்றாண்டிலேயே இது அறியப்பட்டிருந்தது என்ற கருத்தும் உள்ளது<ref>{{cite web|last=Eves|first=Howard|title=Webpage cites AN INTRODUCTION TO THE HISTORY OF MATHEMATICS|url=http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.98/matt1.html|publisher=Mathcentral|access-date=28 March 2015}}</ref> 816 இல், அயர்லாந்தைச் சேர்ந்த துறவி திக்குய்ல் என்பவரும் அவரது [[இயேசுவின் உயிர்த்தெழுதல் நாட்கணிப்பு|இயேசுவின் உயிர்த்தெழுதல் நாட்கணிப்பில்]] இதனைக் குறிப்பிட்டுள்ளார்.<ref>Esposito, M. An unpublished astronomical treatise by the Irish monk Dicuil. Proceedings of the Royal Irish Academy, XXXVI C. Dublin, 1907, 378-446.</ref> திக்குய்லின் குறிப்புகளுக்கான ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பும் உள்ளது.<ref>Ross, H.E. & Knott, B.I."Dicuil (9th century) on triangular and square numbers." British Journal for the History of Mathematics, 2019,34 (2), 79-94. https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687.</ref>

=== கைகுலுக்கல் சிக்கல் ===
"கைகுலுக்கல் சிக்கலுக்கான" தீர்வை முக்கோண எண் {{math|''T''''n''}} தருகிறது. {{math|''n'' + 1}} நபர்கள் உள்ள ஓர் அறையில் ஒருவர் மற்ற ஒவ்வொருவருடனும் கைகுலுக்கினால் நிகழும் மொத்த கைகுலுக்கல்களின் எண்ணிக்கையை முக்கோண் எண் {{math|''T''''n''}} அளிக்கிறது In other words, the solution to the handshake problem of {{math|''n''}} நபர்களின் கைகுலுக்கல் கணக்குக்கான விடை {{math|''T''''n''−1}} ஆகும்.<ref>{{cite web |url=http://www.mathcircles.org/node/835 |title=The Handshake Problem | National Association of Math Circles |website=MathCircles.org |access-date=12 January 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160310182700/http://www.mathcircles.org/node/835 |archive-date=10 March 2016 }}</ref>

===தொடர்கூட்டல் சார்பு ===
அமெரிக்கக் கணினி அறிவியலாளரான டோனால்டு நத், தனது நூலில் ''n'' முழுஎண்களின் [[தொடர் பெருக்கம்|தொடர்பெருக்கத்துடன்]] ஒத்தவொன்றாக "தொடர்கூட்டல் சார்பு" ("Termial function") என்பதை உருவாக்கினார். <ref>{{Cite book |last=Knuth |first=Donald |title=The Art of Computer Programming |edition=3rd |volume=1 |pages=48}}</ref> இத்தொடர்கூட்டலின் குறியீடு '''''n?''''' .இது முக்கோண எண் {{math|''T''''n''}} க்குச் சமம்.

தொடர் பெருக்கம்:
:'''''n!''''' = 1.2.3....n

தொடர் கூட்டல்:
:<math display=block> n? = 1+2+3+4+5+...+n = \frac{n(n+1)}{2} = T_n</math>

எடுத்துக்காட்டாக:
:<math display=block> 10? = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 = T_(10)</math>

==ஏனைய வடிவ எண்களுடனான தொடர்பு==

முக்கோண எண்கள் மற்ற வடிவ எண்களோடு அதிகத் தொடர்புடையன.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

* அடுத்தடுத்த இரு முக்கோண எண்களின் கூடுதல் ஒரு [[வர்க்க எண்]] ([[சதுர எண்]]). இக்கூடுதலின் மதிப்பு, இந்த இரு முக்கோண எண்களின் வித்தியாசத்தின் [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கமாகும்]].
:<math>T_n + T_{n-1} = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{\left(n-1\right)^2}{2} + \frac{n-1}{2} \right ) = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} \right ) = n^2 = (T_n - T_{n-1})^2.</math>

{| cellpadding="7"
|6 + 10 = 16
|[[Image:Square number 16 as sum of two triangular numbers.svg]]
|   
|10 + 15 = 25
|[[Image:Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg]]
|}

மேலேயுள்ள ஒவ்வொரு எடுத்துக்காட்டிலும், இரண்டு பொருந்துகின்ற முக்கோணங்களிலிருந்து ஒரு சதுரம் அமைவதைக் காணலாம்.

* எண்ணற்ற முக்கோண எண்கள் வர்க்க எண்களாகவும் அமைகின்றன. அவற்றுள் சிலவற்றை பின்வரும் மீள்வரு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:
:<math>S_{n+1} = 4S_n \left( 8S_n + 1\right).</math> இதில், <math>S_1 = 1.</math>

அனைத்து [[வர்க்க முக்கோண எண்]]களையும் பின்வரும் மீள்வரு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்.

:<math>S_n = 34S_{n-1} - S_{n-2} + 2.</math>
: இதில் <math>S_0 = 0</math> மற்றும் <math>S_1 = 1.</math>

* ''n'' -ஆம் முக்கோண எண்ணின் வர்க்கம் 1 முதல் ''n'' வரையிலான முழு எண்களின் [[கனம் (கணிதம்)|கனங்களின்]] கூடுதலுக்குச் சமம்.

:<math>T_n^2= \sum_{k=1}^n k^3 = 1^3+2^3+3^3+ \dotsb +n^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 </math>

* 1 முதல் ''n'' வரையிலான முக்கோண எண்களின் கூடுதல் ''n'' ஆம் [[நான்முக எண்]]ணாகும்.
:<math> T_1 + T_2+T_3 +....+T_n = \frac {(n)(n+1)(n+2)} {6}.</math>

* பொதுவாக, ''n'' -ஆம் ''m'' -[[பல்கோண எண்|பலகோண எண்]] மற்றும் ''n'' -ஆம் (''m'' + 1)-பலகோண எண்ணிற்குமுள்ள வித்தியாசம் (''n'' – 1) -ஆம் முக்கோண எண்ணாக அமையும்.

எடுத்துக்காட்டு:
: ஆறாம் [[எழுகோண எண்]] = 81. ஆறாம் [[அறுகோண எண்]] = 66

: இவற்றின் வித்தியாசம் = 81 – 66 = 15. இது ஐந்தாம் முக்கோண எண்ணாகும். முக்கோண எண்களைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு [[மையப்படுத்தப்பட்ட பலகோண எண்]]ணையும் காணமுடியும்.

''n'' -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட ''k''-கோண எண்ணைக் காணும் வாய்ப்பாடு:

:<math>Ck_n = kT_{n-1}+1.\ </math>

: இங்கு <math>T_(n-1) </math> -முக்கோண எண்;

:<math>Ck_n </math> -''n'' -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட ''k''-கோண எண்.

இரு முக்கோண எண்களின் நேர்ம வித்தியாசம் ஒரு [[சரிவக எண்]].

== மேற்கோள்கள் ==
{{சான்று}}
==வெளி இணைப்புகள்==
{{commonscat|triangular numbers}}

* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/numbers.shtml#square Triangular numbers] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml There exist triangular numbers that are also square] at [[cut-the-knot]]
* {{MathWorld|urlname=TriangularNumber|title=Triangular Number}}
*[http://vihart.com/blog/gauss/ Triangular numbers via 12 days of Christmas] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130515042555/http://vihart.com/blog/gauss/ |date=2013-05-15 }} by [[Vi Hart]]

== இவற்றையும் பார்க்கவும் ==
* [[சதுர எண்]]
* [[பல்கோண எண்]]
* [[முக்கோண சதுர எண்]]

[[பகுப்பு:எண்கள்]]
[[பகுப்பு:வடிவவியல்]]
[[பகுப்பு:முக்கோணங்கள்]]
[[பகுப்பு:முழுஎண் தொடர்வரிசைகள்]]
[[பகுப்பு:வார்த்தைகளற்ற நிறுவல்கள்]]

முக்கோண எண் - திருத்த வரலாறு

imported>Booradleyp1: added Category:வார்த்தைகளற்ற நிறுவல்கள் using HotCat