தியாகலிங்கம்: "மெய்யெண்ணுக்கான குறியீடு '''மெய்யெண்''' (''Real number'') அல்லது '''இயல் எண்''' என்பது கணிதத்தில் தொடர்ச்சியான அளவிட..."-இப்பெயரில் புதிய பக்கம் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது

2025-08-21T18:29:53Z

"right|thumb|120px|மெய்யெண்ணுக்கான குறியீடு '''மெய்யெண்''' (''Real number'') அல்லது '''இயல் எண்''' என்பது கணிதத்தில் தொடர்ச்சியான அளவிட..."-இப்பெயரில் புதிய பக்கம் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது

← பழைய திருத்தம்		18:29, 21 ஆகத்து 2025 இல் நிலவும் திருத்தம்
(வேறுபாடு ஏதுமில்லை)

imported>Booradleyp1: /* அடிப்படை இயல்புகள் */

2023-11-01T03:59:18Z

அடிப்படை இயல்புகள்

புதிய பக்கம்

[[படிமம்:Latex real numbers square.svg|right|thumb|120px|மெய்யெண்ணுக்கான குறியீடு]]
'''மெய்யெண்''' (''Real number'') அல்லது '''இயல் எண்''' என்பது [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] தொடர்ச்சியான அளவிடையொன்றில் ஒரு அளவைக் குறிக்கும் பெறுமானமாகும். 17 ஆம் நூற்றாண்டின் கணிதவியலாளர் [[ரெனே டேக்கார்ட்]], [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]களின் [[சார்பின் மூலம்|மூலங்களை]] மெய் மூலங்கள் மற்றும் [[கற்பனை எண்|கற்பனை மூலங்கள்]] எனப் பாகுபடுத்திக் காட்டுவதற்காக "மெய்" என்ற உரிச்சொல்லை அறிமுகப்படுத்தினார்.

[[இயல் எண்]]கள், [[முழு எண்]]கள், [[விகிதமுறு எண்]]கள், [[விகிதமுறா எண்]]கள் ஆகிய அனைத்தும் மெய்யெண்களில் அடங்கும். விகிதமுறா எண் வகையைச் சேர்ந்த [[விஞ்சிய எண்]]கள், மற்றும் [[பை (கணித மாறிலி)|{{pi}}]] (3.14159265...) ஆகியவையும் மெய்யெண்களே.
மெய்யெண்களுக்குச் சில எடுத்துக்காட்டுகள்: -5, 4/3, 8.6, √2, π(3.1415926535...) என்பன மெய் எண்களாகும். தூரத்தைக் குறிப்பதற்கு மட்டுமல்லாது [[நேரம்]], [[திணிவு]], [[ஆற்றல்]], [[திசைவேகம்]] போன்ற பல்வேறு கணியங்களைக் அளந்து குறிப்பதற்கும் மெய்யெண்கள் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

[[File:Real number line.svg|thumb|center|300px|ஒரு முடிவிலி நீளக் [[கோடு (வடிவவியல்)|கோட்டிலுள்ள]] புள்ளிகளாக மெய்யெண்கள் காட்டப்பட்டுள்ளன.]]
மெய்யெண்கள் ஒரு முடிவிலி நீளக் [[கோடு (வடிவவியல்)|கோட்டிலுள்ள]] புள்ளிகளாகக் கருதப்படலாம். இக்கோடு [[எண் கோடு]] அல்லது மெய்க்கோடு எனப்படும். இக்கோட்டில் [[முழு எண்]]களுக்கான புள்ளிகள் சம இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டிருக்கும்.
[[சிக்கலெண்]]கள் கணத்தில் மெய்யெண்களும் அடங்கும். அதனால், [[மெய்யெண் கோடு|மெய்யெண் கோட்டை]] சிக்கலெண் தளத்தின் ஒரு பகுதியாகக் கருதலாம்.

மெய்யெண்களின் கணம், [[எண்ணுறா முடிவிலிகள்|எண்ணுறா முடிவிலி]] [[கணம் (கணிதம்)|கணமாகும்]]. அதாவது [[இயல் எண்]]களின் கணம், மெய்எண்களின் கணம் இரண்டுமே முடிவிலா கணங்களாக இருந்தாலும் இரண்டுக்கும் இடையே (மெய்யெண் கணத்திலிருந்து இயலெண் கணத்திற்கு [[உள்ளிடுகோப்பு]] இல்லை; மெய்யெண்கள் கணத்தின் [[எண்ணளவை]]யானது (குறியீடு: <math>\mathfrak c</math>, இயலெண் கணத்தின் எண்ணளவையை (குறியீடு: <math>\aleph_0</math>) விட மிகப்பெரியதாகும்.

== வரலாறு ==
[[File:Number-systems.svg|thumb|மெய்யெண்கள் கணம் (ℝ), [[விகிதமுறு எண்]] கணத்தை (ℚ) உள்ளடக்கியது; விகிதமுறு எண்களின் கணம் [[முழு எண்]]களின் கணத்தை (ℤ) உள்ளடக்கியது; முழுஎண்களின் கணம் இயலெண்களின் கணத்தை (ℕ) உள்ளடக்கியது.]]

கிமு 1000 ஆண்டுகாலவாக்கில் எகிப்தியர்கள் எளிய [[பின்னம்|பின்னங்களைப்]] பயன்படுத்தினர். {{abbr|c.|circa}} 600 BC}} கிமு 600 களின் ([[வேதகாலம்]]) சுல்ப சூத்திரங்களில் ("Sulba Sutras") [[விகிதமுறா எண்]]கள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. {{nowrap|({{abbr|c.|circa}} 750–690 BC)}} காலத்திய கணிதவியலாளர் மானவரின் காலந்தொட்டு இந்தியக் கணிதவியலாளர்கள் விகிதமுறா எண்கள் என்ற கருத்துருவை அறிந்ததிருந்தனர்; அவர்கள் 2, 61 போன்ற சில எண்களின் [[வர்க்கமூலம்|வர்க்கமூலங்கள்]] சரியாகக் காணவியலாது என்பதனைத் தெரிந்திருந்தனர்.<ref>T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–1. In: {{citation |title = Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics |editor1-first = Helaine |editor1-last = Selin |editor1-link = Helaine Selin |editor2-first = Ubiratan |editor2-last = D'Ambrosio |editor2-link = Ubiratan D'Ambrosio |year = 2000 |publisher = [[இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம்|Springer]] |isbn = 1-4020-0260-2 }}.</ref> கிமு 500 இல் [[பித்தாகரசு]] தலைமையிலான கிரேக்கக் கணிதவியலாளர்களின் குழு விகிதமுறா எண்களின் தேவையை (குறிப்பாக 2 இன் வர்க்கமூலம்) உணர்ந்திருந்தனர்.

== பண்புகள் ==
=== அடிப்படை இயல்புகள் ===
ஒரு மெய்யெண்ணானது [[விகிதமுறு எண்]]கள், [[விகிதமுறா எண்]]கள், [[அறம எண்|இயற்கணித எண்]]கள், [[விஞ்சிய எண்]]கள் ஆகியவையாக இருக்கலாம்; ஒரு [[நேர்ம எண்கள்|நேர்ம]] அல்லது [[எதிர்ம எண்|எதிர்ம]] எண்ணாக அல்லது [[0 (எண்)|0]] ஆக இருக்கலாம். [[தொடர்ச்சியான சார்பு|தொடர்ச்சியான]] கணியங்களை அளப்பதற்கு மெய்யெண்கள் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மெய்யெண்களை [[பதின்ம உருவகிப்பு|தசம]] வடிவிலும் எழுதலாம் (324.823122147...).

மெய்யெண்கள் கணமானது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட களமாக உள்ளது. அதாவது கூட்டல், பெருக்கல், பூச்சியமற்ற எண்களால் வகுத்தல் ஆகிய செயல்களைக் கொண்ட [[களம் (கணிதம்)|களமாகும்]].

மேலும் மெய்யெண்களின் கணம் குறைந்தபட்ச மேல்வரம்புகொண்டதாக உள்ளது. அதாவது வெற்றற்ற மெய்யெண்களைக் கொண்ட ஒரு கணத்திற்கு மேல்வரம்பு இருக்குமானால், அக்கணத்திற்கு குறைந்தபட்ச மேல்வரம்பும் இருக்கும். இப்பண்பே மெய்யெண்களை விகிதமுறு எண்களிலிருந்து வேறுபடுத்திக் காட்டுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, விகிதமுறு எண்களில் 2 ஐவிடக் குறைவான வர்க்கம் கொண்ட எண்களின் கணத்தின் மேல்வரம்பு 1.5 ஆகும். ஆனால் இக்கணத்திற்கு குறைந்தபட்ச மேல்வரம்பாக அமையக்கூடிய விகிதமுறு எண் இல்லை. அதாவது விகிதமுறு எண்கள் கணத்திற்கு குறைந்தபட்ச மேல்வரம்புப் பண்பு கிடையாது.

== குறியீடுகள் ==

மெய்யெண்களின் கணத்தைக் குறிப்பதற்குக் கணிதவியலாளர்கள், '''R''' அல்லது ℝ .என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்றனர். நேர்ம மெய்யெண்களின் கணமும் எதிர்ம மெய்யெண்களின் கணமும் முறையே '''R'''+, '''R'''− எனக் குறிக்கப்படுகின்றன;<ref name=Schumacher96>{{harvnb|Schumacher|1996|loc=pp. 114-115}}</ref> இவை '''R'''+, '''R'''− என்றும் குறிக்கப்படுகின்றன.<ref name="nombres-reels-ens-paris">[[École Normale Supérieure]] of [[பாரிஸ்]], [http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/logique/reels.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140508122311/http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/logique/reels.pdf |date=2014-05-08 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140508122311/http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/logique/reels.pdf |date=2014-05-08 }} “{{lang|fr|Nombres réels}}” (“Real numbers”)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140508122311/http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/logique/reels.pdf |date=2014-05-08 }}, p. 6</ref> எதிர்மமற்ற மெய்யெண்களின் கணம் '''R'''≥0 எனக் குறிக்கப்படலாமெனினும் இக்குறியீடு பெரும்பாலும் '''R'''+ ∪ {0} என்ற கணத்தைக் குறிக்கும்.<ref name=Schumacher96 /> பிரெஞ்சு கணிதத்தில், ''நேர்ம மெய்யெண்கள்'' மற்றும் ''எதிர்ம மெய்யெண்கள்'' இரண்டிலும் [[0 (எண்)|0]] எண்ணும் உள்ளடங்கும்; மேலும் இவ்விரு கணங்களும் முறையே ℝ+ and ℝ− என்ற குறியீடுகளால் குறிக்கப்படுகின்றன.<ref name="nombres-reels-ens-paris"/> இச்சூழலில், பூச்சியம் தவிர்த்த நேர்ம எண்களின் கணம் கண்டிப்பான நேர்ம மெய்யெண்களின் கணமென்றும், பூச்சியம் தவிர்த்த எதிர்ம மெய்யெண்களின் கணம் கண்டிப்பான எதிர்ம மெய்யெண்களின் கணம் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன; மேலும் இவற்றின் குறியீடுகள் முறையே ℝ+* மற்றும் ℝ−* ஆகும்.<ref name="nombres-reels-ens-paris"/>

'''R''' இன் ''n'' நகல்களின் [[கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன்]] '''R'''''n'' எனக் குறிக்கப்படுகிறது., '''R'''''n'' ஆனது மெய்யெண்களின் களத்தின் மீதான ''n''-பரிமாண [[திசையன் வெளி]]யாகும். இந்தத் திசையன் வெளியை, [[யூக்ளீட் வடிவியல்|யூக்ளிடிய வடிவவியலின்]] [[ஆள்கூற்று முறைமை]] கொண்ட ''n''-பரிமாண வெளியாக அடையாளப்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, '''R'''3 இல் உள்ள மெய்யெண்கள் மூன்றும், முப்பரிமாண வெளியில் அமைந்த ஒரு [[புள்ளி]]யின் [[ஆள்கூற்று முறைமை|ஆய தொலைவுகளைக்]] குறிப்பனவையாக அமையும்.

== மேற்கோள்கள் ==
{{reflist}}

[[பகுப்பு:எண் கோட்பாடு]]
[[பகுப்பு:மெய்யெண்கள்| ]]
[[பகுப்பு:அடிப்படைக் கணிதம்]]

மெய்யெண் - திருத்த வரலாறு

imported>Booradleyp1: /* அடிப்படை இயல்புகள் */