யூக்ளிடு - திருத்த வரலாறு

08:16, 29 சூலை 2025 இல் Sukanthi

2025-07-29T08:16:03Z

← பழைய திருத்தம்		08:16, 29 சூலை 2025 இல் நிலவும் திருத்தம்
வரிசை 28:		வரிசை 28:
	யூக்ளிடு தனது அணுகுமுறையை 10 மெய்ம்மைகள், அதாவது, ஏற்றுக்கொள்ளப்படக்கூடிய உண்மைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டு, வகுத்துக் கொண்டார். அவர் இந்த மெய்ம்மைகளை எடுகோள்கள் என அழைத்தார். அவற்றை ஐந்து மெய்ம்மைகளைக் கொண்ட இரண்டு குழுக்களாக பிரித்தார், அனைத்து கணிதவியலுக்கும் பொதுவான மெய்ம்மைகளை முதல் தொகுப்பாகவும், வடிவவியலுக்கு மட்டுமே தொடர்புடைய மெய்ம்மைகளை இரண்டாவது தொகுப்பாகவும் வகைப்படுத்தினார். இந்த மெய்ம்மைகள் அல்லது எடுகோள்கள் சில தானே விளங்கிக்கொள்ளும் வகையில் உள்ளன. ஆனால், யூக்ளிடு ஒவ்வொரு எடுகோள் அல்லது மெய்ம்மைக்கும் ஆதாரம் இல்லாமல் ஏற்றுக்கொள்ள முடியாது என்று கொள்கையைக் கொண்டு செயல்பட்டுள்ளார்.		யூக்ளிடு தனது அணுகுமுறையை 10 மெய்ம்மைகள், அதாவது, ஏற்றுக்கொள்ளப்படக்கூடிய உண்மைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டு, வகுத்துக் கொண்டார். அவர் இந்த மெய்ம்மைகளை எடுகோள்கள் என அழைத்தார். அவற்றை ஐந்து மெய்ம்மைகளைக் கொண்ட இரண்டு குழுக்களாக பிரித்தார், அனைத்து கணிதவியலுக்கும் பொதுவான மெய்ம்மைகளை முதல் தொகுப்பாகவும், வடிவவியலுக்கு மட்டுமே தொடர்புடைய மெய்ம்மைகளை இரண்டாவது தொகுப்பாகவும் வகைப்படுத்தினார். இந்த மெய்ம்மைகள் அல்லது எடுகோள்கள் சில தானே விளங்கிக்கொள்ளும் வகையில் உள்ளன. ஆனால், யூக்ளிடு ஒவ்வொரு எடுகோள் அல்லது மெய்ம்மைக்கும் ஆதாரம் இல்லாமல் ஏற்றுக்கொள்ள முடியாது என்று கொள்கையைக் கொண்டு செயல்பட்டுள்ளார்.

	=== கணிதவியலுக்குப் பொதுவான மெய்ம்மைகள் அல்லது எடுகோள்கள் ===		== கணிதவியலுக்குப் பொதுவான மெய்ம்மைகள் அல்லது எடுகோள்கள் ==
	# ஒரே பொருளுடன் சமமான பொருட்கள் அனைத்தும் அவைகளுக்குள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்.		# ஒரே பொருளுடன் சமமான பொருட்கள் அனைத்தும் அவைகளுக்குள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்.
	# சமமானவை சமமானவற்றுடன் கூட்டப்பட்டால் முடிவுகளும் சமமானவைகளாக இருக்கும்.		# சமமானவை சமமானவற்றுடன் கூட்டப்பட்டால் முடிவுகளும் சமமானவைகளாக இருக்கும்.
வரிசை 35:		வரிசை 35:
	# முழுமையானது பகுதியானதுடன் பெரியதாகவே இருக்கும்.		# முழுமையானது பகுதியானதுடன் பெரியதாகவே இருக்கும்.

	=== வடிவவியலுக்கேயான மெய்ம்மைகள் அல்லது எடுகோள்கள் ===		== வடிவவியலுக்கேயான மெய்ம்மைகள் அல்லது எடுகோள்கள் ==
	# ஒரு புள்ளியிலிருந்து மற்றொரு புள்ளியை இணைத்து நேர்கோடு வரையலாம்.		# ஒரு புள்ளியிலிருந்து மற்றொரு புள்ளியை இணைத்து நேர்கோடு வரையலாம்.
	# மையப்புள்ளியில் இருந்து குறிப்பிட்ட ஆரத்தைக் கொண்டு வட்டம் வரைய முடியும்.		# மையப்புள்ளியில் இருந்து குறிப்பிட்ட ஆரத்தைக் கொண்டு வட்டம் வரைய முடியும்.

Sukanthi: "கிரேக்க அறிஞர் யூக்ளிடு கிரேக்க நாட்டின் அலெக்சாந்திரியாவைச் சேர்ந்த '''இயூக்ளிடு''' அல..."-இப்பெயரில் புதிய பக்கம் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது

2025-07-29T08:14:43Z

"thumb|கிரேக்க அறிஞர் யூக்ளிடு கிரேக்க நாட்டின் அலெக்சாந்திரியாவைச் சேர்ந்த '''இயூக்ளிடு''' அல..."-இப்பெயரில் புதிய பக்கம் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது

← பழைய திருத்தம்		08:14, 29 சூலை 2025 இல் நிலவும் திருத்தம்
(வேறுபாடு ஏதுமில்லை)

imported>Himbeerbläuling: /* வாழ்க்கை */ wikisyntax nbsp

2024-07-13T15:21:38Z

வாழ்க்கை: wikisyntax nbsp

புதிய பக்கம்

[[படிமம்:Artgate Fondazione Cariplo - Cifrondi Antonio, Euclide.jpg|thumb|கிரேக்க அறிஞர் யூக்ளிடு]]
[[கிரேக்க நாடு|கிரேக்க]] நாட்டின் [[அலெக்சாந்திரியா]]வைச் சேர்ந்த '''இயூக்ளிடு''' அல்லது '''இயூக்கிளிடீசு''' (Euclid Εὐκλείδης) என்பார் கி.மு. 325 முதல் கி.மு. 265 வரை வாழ்ந்தவர் என அறிஞர்கள் கருதுகின்றனர். இவருடைய [[வடிவியல்]] நூலாகிய [[யூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்ஸ்|இயூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்சு]] (Elements) என்பது 2200 ஆண்டுகளுக்கும் மேலாக மாந்தர் இனத்தைப் பெருமளவும் சிந்திக்க வைத்த பெரும் நூலாகும். இதில் 13 பெரும் பாகங்கள் (உள் நூல்கள்) உள்ளன. இவருடைய வடிவவியல் நூலின் வழி [[அடிக்கோள்|முதற்கோளாக]] (axiom) சில கருத்துக்களைக் கொண்டு முறைப்படி நிறுவும் (prove) கணிதவியலை தோற்றுவித்தார் என்று சொல்லலாம். இவருடைய ''எலிமென்ட்சு'' என்னும் நூலில் [[வடிவவியல்]] மட்டும் இன்றி [[எண்]]கணிதத்திலும் பல அருமையான முடிவுகளை கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக நூல் 10 இல் 20ஆவது முன் வைப்பில் [[பகா எண்]]கள், எண்ணிக்கையில் அடங்காதவை என்று நிறுவியுள்ளார். வடிவயியலில் ஒரு பிரிவு [[யூக்ளீட் வடிவியல்|இயூக்ளீட் வடிவியல்]] என்று வழங்கப்படுகிறது.

== வாழ்க்கை ==
யூக்ளிடைப் பற்றி மிகக் குறைவான அசல் குறிப்புகளே கிடைத்துள்ளன, அவரின் வாழ்க்கை பற்றி மிகவும் குறைவாக அறியப்படுகிறது. அவரது பிறந்த மற்றும் இறப்பு தேதி, இடம் மற்றும் சூழ்நிலைகள் தெரியவில்லை. யூக்ளிடின் பிறப்பு பற்றி இரண்டு விதமான செய்திகள் உள்ளன அரேபிய எழுத்தாளர் ஒருவர் யூக்ளிட் நௌகிரேட்சின் மகன் என்றும் இவர் டயர் என்னுமிடத்தில் பிறந்தார் என்றும் கூறினார் இரண்டாவது செய்தி இவர் மெகாராவில் (Megare) பிறந்தார் என்றும் கூறப்படுகிறது.<ref>{{cite book | title=கணிதம் கற்பித்தல் - வளநுால் முதலாம் ஆண்டு, ஆசிரியர் பயிற்சி பட்டயப்படிப்பு | publisher=தமிழ்நாட்டுப் பாடநுால் கழகம் | year=2008 | location=சென்னை | pages=17,18}}</ref> இவருடைய காலமானது இவருடன் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள மற்றவர்களின் காலத்திலிருந்தே தோராயமாக மதிப்பிடப்பட வேண்டியுள்ளது. [[ஆர்க்கிமிடிசு]] (c. 287 BC – c. 212 BC) முதலான மற்ற கிரேக்க கணிதவியலாளர்கள் இவரின் பெயரை மிக அரிதாகவே குறிப்பிட்டுள்ளார்கள். இவர் பெரும்பாலும் "ὁ στοιχειώτης" ("the author of Elements") என்றே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளார்.<ref>Heath (1981), p. 357</ref> யூக்ளிட் குறித்த சில வரலாற்றுக் குறிப்புகள் புரோகுலசு c. 320 AD. மற்றும் அலெக்சாண்டிரியாவின் பாப்பசு c.320 AD ஆகியோரால் அவர் வாழ்ந்த காலத்திலிருந்து பல நுாற்றாண்டுகள் கழித்தே எழுதப்பட்டது.<ref>Joyce, David. ''Euclid''. Clark University Department of Mathematics and Computer Science. [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/Euclid.html]</ref>

புரோக்லசு எலிமெண்ட்சு நுாலைப் பற்றிய மதிப்புரையில் யூக்ளிடைப் பற்றி சுருக்கமாக அறிமுகப்படுத்தியுள்ளார். புரோக்லசின் கூற்றின்படி பிளாட்டோவின் தொடர் வலியுறுத்தலின் காரணமாக பிளாட்டோவின் பல மாணவர்களின் தொகுப்பான (குறிப்பாக [[தியெட்டெட்டஸ்]] மற்றும் பிலிப் ஆஃப் ஓபஸ் ஆகியோரின் யூடோக்சசு ஆஃப் க்னீடஸ்) என்ற படைப்பினைத் தொடர்ந்து உருவாக்கப்பட்ட ஒன்றாகும். யூக்ளிட் இவர்களை விட இளையவராவார் என்றும், [[தாலமி 1]] என்பவரின் சமகாலத்தில் வாழ்ந்தவராக இருக்கலாம் என்று புரோக்லசு நம்பினார். ஏனெனில் [[ஆர்க்கிமிடிசு]] (287-212 கி.மு.) யூக்ளிடைப் பற்றி குறிப்பிட்டுள்ளார். யூக்ளிடைப் பற்றிய ஆர்க்கிமிடிசின் வெளிப்படையான மேற்கோள்கள் அவரது படைப்புகளில் பிற்கால ஆசிரியர்களால் செய்யப்பட்ட ஒரு இடைச்செருகல் என்று தீர்மானிக்கப்பட்டாலும், யூக்ளிடு அவரது படைப்புகளை ஆர்க்கிமிடீசிற்கு முன் எழுதினார் என்று நம்பப்படுகிறது.<ref>Proclus, [https://books.google.com/books?id=JZEHj2fEmqAC&pg=PA88&vq=euclid&dq=proclus+commentary+elements&source=gbs_search_s&cad=0#PPR30,M1 p. XXX]</ref><ref name="MCS">''[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Euclid.html Euclid of Alexandria]''</ref><ref>The MacTutor History of Mathematics archive.</ref>

தாலெமி I வடிவியலைப் படிக்க யூக்ளிடின் எலிமெண்ட்சு அல்லாத வேறு ஏதேனும் எளிய வழிகள் உள்ளதா? எனக் கேட்டதாகவும், யூக்ளிட் அதற்கு வடிவியலைப் படிக்க சொகுசான பாதை ஏதும் இல்லை எனத் தெரிவித்ததாகவும் ஒரு கதையை புரோக்லசு பின்னர் கூறியுள்ளார்.<ref>Proclus,[https://books.google.com/books?id=JZEHj2fEmqAC&lpg=PP1&pg=PA57#v=onepage&q&f=false p. 57]</ref> இந்த வாழ்க்கைக் குறிப்பானது [[பேரரசர் அலெக்சாந்தர்|பேரரசர் அலெக்சாந்தருக்கும்]] மெனேச்மசுக்கும் இடையே நடந்த உரையாடலைப் போன்ற கதையாக இருப்பதால் நம்பத்தகுந்ததாய் இல்லை.<ref>Boyer, p. 96.</ref>
யூக்ளிடு குறித்த முக்கிய குறிப்பில் நான்காம் நுாற்றாண்டில் அப்போலோநியசு [[அலெக்சாந்திரியா]]வில் யூக்ளிடின் மாணவர்களுடன் நீண்ட நேரம் செலவிட்டதாகவும் இதன் காரணமாகவே தனக்கு அறிவியல் மனப்பான்மையையோடு சிந்திக்கும் பழக்கம் ஏற்பட்டதாகவும் தெரிவித்துள்ளதாக பாப்பசு சுருக்கமாகக் குறிப்பிடுகிறார்.<ref>Heath (1956), p. 2.</ref><ref>{{cite web|url=http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers1999/schmarge.html|title=Conic Sections in Ancient Greece}}</ref>

அந்த காலகட்டத்திற்கான வரலாற்றோடு ஒப்பிடும் போது யூக்ளிடு குறித்த வாழ்க்கை வரலாறு மிகவும் குறைவான அளவிலேயே கிடைத்துள்ள காரணத்தால்,(யூக்ளிடுக்கு முந்தைய மற்றும் பிந்தைய நுாற்றாண்டுகளில் வசித்த குறிப்பிடத்தக்க கிரேக்க கணிதவியலாளர்களின் வரலாறுகளெல்லாம் பரந்துபட்ட அளவில் கிடைத்துள்ளன) சில் ஆய்வாளர்கள் யூக்ளிடு ஒரு வரலாற்று நாயகன் அல்ல எனவும், அவரது பணிகள் கணிதவியலாளர்களின் குழு ஒன்றினால் யூக்ளிடின் பெயரால் எழுதப்பட்டவையாக இருக்கலாம் என்ற பார்வையையும் முன்வைக்கின்றனர். இருந்தபோதிலும், இந்தக் கருதுகோளானது மிகக் குறைவான சான்றுகளையே கொண்டுள்ளதால், கல்விமான்களால் முழுமையாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படவில்லை.<ref name="MCS" /><ref>{{cite book|title=Les livres arithmétiques d'Euclide|author=Jean Itard|year=1962}}</ref>

== யூக்ளிடின் எலிமென்ட்சு (Elements of Euclid) ==
[[File:Euclidis quae supersunt omnia.tif|thumb|Euclides, 1703]]
எலிமென்ட்சு எனும் நுால் பழைய கிரேக்கத்திலிருந்து கிடைக்கப் பெற்ற கணிதம் தொடர்பான மிகப்பெரிய ஆய்வுக்கட்டுரையாகும். இந்த ஆய்வுக்கட்டுரையானது 13 தொகுதிகளைக் கொண்டதாகும். வரையறைகள், எடுகோள்கள், ஆய்வுக்கருத்துரைகள், கோட்பாடுகள், கருத்துரைகளுக்கான கணிதவியல் நிரூபணங்கள் போன்றவற்றின் தொகுப்பாகும். இந்த நூலானது, [[யூக்ளீட் வடிவியல்|யூக்ளிட் வடிவியல்]], [[எண் கணிதம்]] மற்றும் பொதுஅளவில்லாத [[கோடு]]கள் ஆகியவற்றைப் பற்றிய விளக்கங்களை உள்ளடக்கியுள்ளது. இது தர்க்க மற்றும் நவீன அறிவியல் ஆகியவற்றின் வளர்ச்சிக்கான கருவியாக நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் அதன் தர்க்கரீதியான கடுமை 19 ஆம் நூற்றாண்டு வரை விஞ்சப்படவில்லை. யூக்ளிடின் எலிமென்ட்சானது இதுவரை எழுதப்பட்டவற்றில் மிகவும் வெற்றிகரமான செல்வாக்கு வாய்ந்த பாடப்புத்தகம் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றது.<ref name="Boyer Author of the Elements">{{cite book|last=Boyer|title=|year=1991|chapter=Euclid of Alexandria|page=100|quote=As teachers at the school he called a band of leading scholars, among whom was the author of the most fabulously successful mathematics textbook ever written – the ''Elements'' (''Stoichia'') of Euclid.}}</ref><ref name="Boyer Influence of the Elements">{{cite book|last=Boyer|title=|year=1991|chapter=Euclid of Alexandria|page=119|quote=The ''Elements'' of Euclid not only was the earliest major Greek mathematical work to come down to us, but also the most influential textbook of all times. [...]The first printed versions of the ''Elements'' appeared at Venice in 1482, one of the very earliest of mathematical books to be set in type; it has been estimated that since then at least a thousand editions have been published. Perhaps no book other than the Bible can boast so many editions, and certainly no mathematical work has had an influence comparable with that of Euclid's ''Elements''.}}</ref>

எலிமென்ட்சு நுாலின் முதல் 6 பிரிவுகள் வடிவியல் குறித்தது. அதாவது, முதல் 3 பிரிவுகள் [[முக்கோணம்]], [[இணைகரம்]], [[செவ்வகம்]], [[சதுரம்]] ஆகியவற்றின் அடிப்படைப் பண்புகளையும், 4ஆவது பிரிவு வட்டத்தின் பண்புகள், வட்டத்தை ஒட்டிய கணக்குகளையும், 5 ஆவது பிரிவு [[விகிதம்]] பற்றியும், ஆறாவது பிரிவு வடிவியல் பயன்பாடு பற்றியும், 7ஆவது பிரிவு மீப்பெரு பொதுவகுத்திகளைப் பற்றியும், எட்டாவது மற்றும் ஒன்பதாவது பிரிவுகள் [[பெருக்கல் வரிசை|பெருக்கல் தொடர்]] பற்றியும், பத்தாவது பிரிவு [[விகிதமுறா எண்]]களைப் பற்றியும், 11, 12 ஆவது பிரிவுகள் முப்பரிமாண வடிவியல் பற்றியும் எழுதப்பட்டிருந்தது.<ref>{{cite book | title=கணிதம் கற்பித்தல் - ஆசிரியர் பட்டயப் பயிற்சி - முதலாம் ஆண்டு | publisher=தமிழ்நாட்டுப் பாடநுால் கழகம் | year=2009 | location=சென்னை | pages=18}}</ref>

== கணித உலகில் தாக்கத்தை ஏற்படுத்திய யூக்ளிடின் பணிகள் ==
* பகா எண்கள் குறித்த யூக்ளிடின் பணி
* யூக்ளிடின் லெம்மா - ஒரு [[பகா எண்]]ணானது இரு எண்களின் பெருக்கற்பலனை மீதியின்றி வகுத்தால், குறிப்பிட்ட அந்த பகா எண்ணானது அந்த இரண்டு எண்களில் ஒரு எண்ணை வகுக்கக்கூடியதாக இருக்கும் என்ற பகா எண் தொடர்பான அடிப்படைப் பண்பை வரையறுத்துள்ளார்.
* [[எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம்]] (அல்லது) தனித்த பகாக் காரணியாக்கத் தேற்றம் - [[1 (எண்)|1]]ஐ விடப் பெரியதான<ref>Using the empty product rule one need not exclude the number 1, and the theorem can be stated as: every positive integer has unique prime factorization.</ref> ஒவ்வொரு [[முழு எண்|முழுஎண்ணும்]] [[பகா எண்|பகாஎண்ணாகவோ]] அல்லது பகாஎண்களின் பெருக்கமாகவோ இருக்கும்.
* யூக்ளிடின் [[படிமுறைத் தீர்வு]] - இரண்டு எண்களின் [[மீப்பெரு பொது வகுத்தி]] (G.C.D) கணக்கிடுவதற்கான மிகவும் பயனுள்ள முறையாகும். இரண்டு எண்களையும் மீதமின்றி வகுக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய எண்ணே மீப்பெரு பொது வகுத்தி எனப்படும்.
* யூக்ளிடு ஒரு வடிவத்துடன் தொடர்புடைய வடிவியலின் அமைப்பு, வெளியில் (space) அதன் ஒப்புமை நிலைகள் மற்றும் பண்புகள் ஆகியவற்றைக் குறித்து விவரித்தார். யூக்ளிடு, வடிவியலைத் தானே விளங்கிக் கொள்கின்ற வகையிலான, காரண காரிய கருத்துத் தொடர்புடைய தேற்றங்களின் வடிவத்தில் அளித்தார். அவரது இப்பணியே [[யூக்ளீட் வடிவியல்|யூக்ளிடு வடிவியல்]] என அழைக்கப்படுகிறது.<ref>{{cite web | url=http://www.biographyonline.net/scientists/euclid.html | title=Euclid biography | publisher=Biographyonline | date=24 March 2015 | accessdate=27 செப்டம்பர் 2017 | author=Pettinger, Tejvan}}</ref>

== யூக்ளிடின் மெய்ம்மைகள் ==
யூக்ளிடு தனது அணுகுமுறையை 10 மெய்ம்மைகள், அதாவது, ஏற்றுக்கொள்ளப்படக்கூடிய உண்மைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டு, வகுத்துக் கொண்டார். அவர் இந்த மெய்ம்மைகளை எடுகோள்கள் என அழைத்தார். அவற்றை ஐந்து மெய்ம்மைகளைக் கொண்ட இரண்டு குழுக்களாக பிரித்தார், அனைத்து கணிதவியலுக்கும் பொதுவான மெய்ம்மைகளை முதல் தொகுப்பாகவும், வடிவவியலுக்கு மட்டுமே தொடர்புடைய மெய்ம்மைகளை இரண்டாவது தொகுப்பாகவும் வகைப்படுத்தினார். இந்த மெய்ம்மைகள் அல்லது எடுகோள்கள் சில தானே விளங்கிக்கொள்ளும் வகையில் உள்ளன. ஆனால், யூக்ளிடு ஒவ்வொரு எடுகோள் அல்லது மெய்ம்மைக்கும் ஆதாரம் இல்லாமல் ஏற்றுக்கொள்ள முடியாது என்று கொள்கையைக் கொண்டு செயல்பட்டுள்ளார்.

=== கணிதவியலுக்குப் பொதுவான மெய்ம்மைகள் அல்லது எடுகோள்கள் ===
# ஒரே பொருளுடன் சமமான பொருட்கள் அனைத்தும் அவைகளுக்குள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்.
# சமமானவை சமமானவற்றுடன் கூட்டப்பட்டால் முடிவுகளும் சமமானவைகளாக இருக்கும்.
# சமமானவையானவை சமமானவற்றிலிருந்து கழிக்கப்பட்டால் மீதமாய் வருபவையும் சமமாகவே இருக்கும்.
# ஒன்றுடன் ஒன்று ஒத்திசைபவை ஒன்றோடு ஒன்று சமமாக இருக்கும்.
# முழுமையானது பகுதியானதுடன் பெரியதாகவே இருக்கும்.

=== வடிவவியலுக்கேயான மெய்ம்மைகள் அல்லது எடுகோள்கள் ===
# ஒரு புள்ளியிலிருந்து மற்றொரு புள்ளியை இணைத்து நேர்கோடு வரையலாம்.
# மையப்புள்ளியில் இருந்து குறிப்பிட்ட ஆரத்தைக் கொண்டு வட்டம் வரைய முடியும்.
# ஒரு நேர்க்கோட்டின் இருமுனைப் புள்ளிகளை எவ்வளவு தூரம் வேண்டுமானாலும் நீட்டிச் செல்லலாம்.
# செங்கோணம் எப்போதும் 90°அளவைக் கொண்டதாக இருக்கும்
# இரண்டு நேர்கோடுகளின் மீது ஒரு நேர்கோடானது குறுக்கே செல்லும் போது, ஒரே பக்கத்தில் உருவாகும் கோணங்களின் கூடுதல் இரண்டு செங்கோணங்களின் கூடுதல்ளை விடக் குறைவாக இருக்கும் நேர்வில், இரண்டு நேர்கோடுகள், முடிவேயில்லாமல் நீட்டிக்கப்பட்டிருந்தால், எந்தப் பக்கத்தில் கோணங்களின் கூடுதல் இரண்டு செங்கோணங்களை விடக் குறைவாக உள்ளனவோ, அதே பக்கத்தில் ஒன்றை ஒன்று சந்திக்கின்றன.

வார்த்தைகளை வாசித்து புரிந்து கொள்ளக்கூடிய எவருமே அவரது கருத்துக்களையும், எடுகோள்களையும் புரிந்து கொள்ள முடியும் என்பதை யூக்ளிடு உணர்ந்திருந்தாலும், ஆனால் எதனையும் சொற்பொருள் பிழையில்லாது இருக்க வேண்டும் என்பதை உறுதிப்படுத்துவதற்காக, 'புள்ளி' மற்றும் 'கோடு' போன்ற பொதுவான சொற்களின் 23 வரையறைளை உருவாக்கினார். இந்த அடிப்படையிலிருந்தே, பல நூற்றாண்டுகளாக கணிதம், விஞ்ஞானம் மற்றும் தத்துவம் ஆகியவற்றை ஒழுங்குக்குக் கொண்டு வரும் தள வடிவவியலின் முழு கோட்பாட்டையும் அவர் உருவாக்கியுள்ளார். மிகப்பெரிய பகா எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான முயற்சி சாத்தியமற்றது என்று நிரூபித்தார்,<ref>{{cite web | url=https://explorable.com/euclid | title=Euclid the Father of Geometry | publisher=Explorable | accessdate=27 செப்டம்பர் 2017 | author=Martyn Shuttleworth}}</ref>

== மேலும் காண்க ==
* [[யூக்ளீட் வடிவியல்]]
* [[யூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்ஸ்]]
* [[யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வு]]

==மேற்கோள்கள்==
{{Reflist}}

[[பகுப்பு:கணிதவியலாளர்கள்]]
[[பகுப்பு:யூக்ளிடிய வடிவவியல்]]
[[பகுப்பு:கிரேக்கர்கள்]]