09:46, 19 மே 2026 இல் Ruban

2026-05-19T09:46:06Z

← பழைய திருத்தம்		09:46, 19 மே 2026 இல் நிலவும் திருத்தம்
வரிசை 48:		வரிசை 48:

	==மேலதிகக் குறியீடுகளும் கூற்றுகளும்==		==மேலதிகக் குறியீடுகளும் கூற்றுகளும்==
	===சில அடிப்படை விதிகள் ===		==சில அடிப்படை விதிகள் ==
	* <math>a \mid b </math> மற்றும் <math>b \mid c</math> எனில், <math>a \mid c</math>, அதாவது வகுபடும்தன்மை ஒரு கடப்பு உறவாகும் (transitive relation).		* <math>a \mid b </math> மற்றும் <math>b \mid c</math> எனில், <math>a \mid c</math>, அதாவது வகுபடும்தன்மை ஒரு கடப்பு உறவாகும் (transitive relation).
	* <math>a \mid b</math> மற்றும் <math>b \mid a</math> எனில், <math>a = b</math> அல்லது <math>a = -b</math>.		* <math>a \mid b</math> மற்றும் <math>b \mid a</math> எனில், <math>a = b</math> அல்லது <math>a = -b</math>.
வரிசை 61:		வரிசை 61:
	*<math>p</math> ஒரு [[பகா எண்]] மற்றும் <math>p \mid ab</math> எனில், <math>p \mid a</math> அல்லது <math>p \mid b</math>.		*<math>p</math> ஒரு [[பகா எண்]] மற்றும் <math>p \mid ab</math> எனில், <math>p \mid a</math> அல்லது <math>p \mid b</math>.

	===தகு வகுஎண்கள்===		==தகு வகுஎண்கள்==
	*<math>n</math> இன் ’தகு வகுஎண்’ (proper divisor) அல்லது ‘மீதியில்லப் பகுதி’ (aliquot part) என்பது <math>n</math> அல்லாத அதன் ஒரு மிகைவகுஎண் ஆகும். <math>n</math> ஐ மீதியின்றி வகுக்காத எண் <math>n</math> இன் ‘சரிநேர் கூறாகாத பகுதி’ (aliquant part) எனப்படும்.		*<math>n</math> இன் ’தகு வகுஎண்’ (proper divisor) அல்லது ‘மீதியில்லப் பகுதி’ (aliquot part) என்பது <math>n</math> அல்லாத அதன் ஒரு மிகைவகுஎண் ஆகும். <math>n</math> ஐ மீதியின்றி வகுக்காத எண் <math>n</math> இன் ‘சரிநேர் கூறாகாத பகுதி’ (aliquant part) எனப்படும்.
	*<math>n > 1</math> மற்றும் <math>n</math> இன் ஒரேயொரு தகு வகுஎண் 1 மட்டுமேயெனில், <math>n</math> ஒரு பகாஎண்ணாகும். .		*<math>n > 1</math> மற்றும் <math>n</math> இன் ஒரேயொரு தகு வகுஎண் 1 மட்டுமேயெனில், <math>n</math> ஒரு பகாஎண்ணாகும். .
வரிசை 67:		வரிசை 67:
	அதாவது, ஒவ்வொரு பகாஎண்ணுக்கும் இரண்டே இரண்டு வகுஎண்கள் மட்டுமே உண்டு. ( எண் 1 மற்றும் அதே எண்)		அதாவது, ஒவ்வொரு பகாஎண்ணுக்கும் இரண்டே இரண்டு வகுஎண்கள் மட்டுமே உண்டு. ( எண் 1 மற்றும் அதே எண்)

	===வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை===		==வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை==
	*<math> n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k} </math> ஆனது <math>n</math> இன் பகாக் காரணியாக்கம்		*<math> n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k} </math> ஆனது <math>n</math> இன் பகாக் காரணியாக்கம்
	எனில்,		எனில்,

imported>AntanO: removed Category:எண்கள் using HotCat

2023-12-10T04:23:29Z

removed Category:எண்கள் using HotCat

புதிய பக்கம்

[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] ஒரு [[முழு எண்]]ணின்'''வகுஎண்''' அல்லது '''வகுத்தி''' (''divisor'') என்பது, வேறு ஏதேனுமொரு முழுஎண்ணுடன் பெருக்கப்படும்போது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முழுஎண் கிடைக்குமாறு அமைகின்ற ஒரு முழுஎண்ணாகும். ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண் அம்முழு எண்ணின் ’காரணி’ எனவும் அழைக்கப்படும். எண் [[1 (எண்)|1]] ஆனது அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்ணாக அமையும். ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
:1 இன் வகுஎண்கள் = {1}
:2 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2}
:3 இன் வகுஎண்கள் = {1, 3}
:4 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 4}
:......
:10 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 5, 10}

==வரையறை==
பொதுவாக வகுஎண் என்பது இருவிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

*<math>m,</math> <math>n</math> ஆகிய இரு முழுஎண்களுக்கு,
:<math>mk = n</math>.<ref>for instance, {{harvnb|Sims|1984|loc=p. 42}} or {{harvnb|Durbin|1992|loc=p. 61}}</ref> என்றவாறு <math>k</math> என்ற முழுஎண் இருக்குமானால்:
:<math>m</math> ஆனது <math>n</math>ஐ வகுக்கும் என்றும்;
:<math>n</math> இன் வகுஎண் <math>m</math> என்றும்;
:<math>n</math> ஆனது <math>m</math> இன் மடங்கு என்றும் கூறப்படும்.
:இக்கூற்றின் குறியீடு:
:<math>m \mid n,</math>

இந்த வரையறையின்படி <math>0 \mid 0</math> என்பது உண்மையாகும்.

* மேற்காணும் வரையறையில், <math>m \neq 0</math>.<ref>{{harvnb|Herstein|1986|loc=p. 26}}</ref> என்ற கட்டுப்பாட்டைச் சேர்த்தால் <math>0 \mid 0</math> என்பது உண்மையாகாது.

==பொதுவானவை==
*ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண்கள் மிகைமுழுஎண்களாகவோ அல்லது குறை முழுஎண்களாகவோ இருக்கலாம். ஆனால் பொதுவாக வகுஎண்கள் என்னும்போது மிகைவகுஎண்கள் மட்டுமே குறிக்கப்படுகின்றன.

:எடுத்துக்காட்டு:

வகுஎண்களின் வரையறைப்படி, 1, 2, 4, −1, −2, −4 ஆகிய ஆறு எண்களுமே 4 இன் வகுஎண்கள் ஆகும். ஆனால் 4 இன் வகுஎண்களென 1, 2, 4 ஆகிய மிகை வகுஎண்கள் மட்டுமே குறிப்பிடப்படுகின்றன.

*1 மற்றும் −1 ஆகிய இரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களையும் வகுக்கும். அதாவது அவையிரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்களாகும்.
*ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.<ref name="ReferenceA">இக்கூற்றுக்கு 0|0 என்பதை உண்மையாகக் கொள்ளும் முதல்வரையறையை எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும். அல்லது கூற்றினை பூச்சியமற்ற முழுஎண்களுக்கெனக் கொள்ள வேண்டும்</ref>
*ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தினை வகுக்கும். அதாவது ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தின் வகுஎண்ணாகும்.<ref name="ReferenceA"/>
*1, −1, ''n'' , −''n'' ஆகியவை ''n'' இன் ’மிகஎளிய வகுஎண்கள்’ அல்லது ”வெளிப்படையான வகுத்திகள்” (trivial divisors) என அழைக்கப்படும்.
*ஒரு [[பூச்சியம்|பூச்சியமற்ற]] முழுஎண்ணுக்குக் குறைந்தபட்சம் வெளிப்படையெற்ற, (அ-து ஒன்றையும் அதே எண்ணும் அல்லாத) ஒரு வகுஎண்ணாவது இருக்குமானல் அந்த பூச்சியமற்ற முழுஎண் [[பகு எண்]] எனப்படும்.
*எண் 2 ஆல் வகுபடும் முழுஎண்கள் இரட்டை எண்கள் எனவும் 2 ஆல் வகுபடாத முழுஎண்கள் ஒற்றை எண்களெனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

==எடுத்துக்காட்டுகள்==
*<math>7 \times 6 = 42</math> என்பதால் 42 இன் வகுஎண் 7. அதாவது, <math>7 \mid 42</math>.
42 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் அல்லது 42 ஆனது 7 இன் மடங்கு அல்லது 42 இன் காரணி 7 என்றும் கூறலாம்.
*எண் 6 இன் மிகஎளியதற்ற வகுஎண்கள்: 2, −2, 3, −3.
*42 இன் நேர் வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
*<math>5 \times 0 = 0</math> என்பதால் <math>5 \mid 0</math>.
*எண் 60 இன் நேர் வகுஎண்களின் கணம்:
:<math>A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \}</math>

==மேலதிகக் குறியீடுகளும் கூற்றுகளும்==
===சில அடிப்படை விதிகள் ===
* <math>a \mid b </math> மற்றும் <math>b \mid c</math> எனில், <math>a \mid c</math>, அதாவது வகுபடும்தன்மை ஒரு கடப்பு உறவாகும் (transitive relation).
* <math>a \mid b</math> மற்றும் <math>b \mid a</math> எனில், <math>a = b</math> அல்லது <math>a = -b</math>.
* <math>a \mid b</math> மற்றும் <math>a \mid c</math> எனில் <math> a \mid (b + c)</math> மற்றும் <math> a \mid (b - c)</math>.<ref><math>a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b+c=(j+k)a \Rightarrow a \mid (b+c)</math>. Similarly, <math>a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b-c=(j-k)a \Rightarrow a \mid (b-c)</math></ref>

எனினும் <math>a \mid b</math> மற்றும் <math>c \mid b</math> எனில், <math>(a + c) \mid b</math> என்பது எப்பொழுதும் உண்மையாகாது.

எடுத்துக்காட்டு:
:<math>2\mid6</math> and <math>3 \mid 6</math> ஆனால் 5 ஆனது 6ஐ வகுப்பதில்லை.

*<math>a \mid bc</math> மற்றும் [[மீப்பெரு பொது வகுத்தி|மீபொவ]]<math>(a, b) = 1</math> எனில், <math>a \mid c</math>. இது ’யூக்ளிடின் முற்கோள்’ (Euclid's lemma) என அழைக்கப்படுகிறது.
*<math>p</math> ஒரு [[பகா எண்]] மற்றும் <math>p \mid ab</math> எனில், <math>p \mid a</math> அல்லது <math>p \mid b</math>.

===தகு வகுஎண்கள்===
*<math>n</math> இன் ’தகு வகுஎண்’ (proper divisor) அல்லது ‘மீதியில்லப் பகுதி’ (aliquot part) என்பது <math>n</math> அல்லாத அதன் ஒரு மிகைவகுஎண் ஆகும். <math>n</math> ஐ மீதியின்றி வகுக்காத எண் <math>n</math> இன் ‘சரிநேர் கூறாகாத பகுதி’ (aliquant part) எனப்படும்.
*<math>n > 1</math> மற்றும் <math>n</math> இன் ஒரேயொரு தகு வகுஎண் 1 மட்டுமேயெனில், <math>n</math> ஒரு பகாஎண்ணாகும். .

அதாவது, ஒவ்வொரு பகாஎண்ணுக்கும் இரண்டே இரண்டு வகுஎண்கள் மட்டுமே உண்டு. ( எண் 1 மற்றும் அதே எண்)

===வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை===
*<math> n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k} </math> ஆனது <math>n</math> இன் பகாக் காரணியாக்கம்
எனில்,
:<math>n</math> இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை (<math>d(n)</math>):
:<math> d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_k + 1), </math>
*ஒவ்வொரு [[இயல் எண்]] <math>n</math> க்கும், <math>d(n) < 2 \sqrt{n}</math>.
*<math>n</math> இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு பெருக்கல் சார்பாகும் . அதாவது <math>m</math> மற்றும் <math>n</math> இரண்டும் [[சார்பகா முழுஎண்கள்|சார்பகா எண்கள்]] எனில்:
:<math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>.
:எடுத்துக்காட்டு:
:<math>d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)</math>; (42 இன் எட்டு வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42)

எனினும் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு கிடையாது. அதாவது <math>m</math> மற்றும் <math>n</math> ஆகிய இரு எண்களுக்கிடையே ஒரு பொது வகுஎண் இருந்தால் <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math> என்பது உண்மையாகாது.
*<math>n</math> இன் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதலுமொரு பெருக்கல் சார்பாகும். இதன் குறியீடு: <math>\sigma (n)</math>

எடுத்துக்காட்டு:
<math>\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42</math>

==குறிப்புகள்==
{{reflist}}

== மேற்கோள்கள் ==
*{{cite book |last=Durbin |first=John R. |title=Modern Algebra: An Introduction |edition=3rd |year=1992 |publisher=Wiley |location=New York |isbn=0-471-51001-7 |url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000258.html}}
*[[Richard K. Guy]], ''Unsolved Problems in Number Theory'' (3rd ed), [[Springer Verlag]], 2004 {{ISBN|0-387-20860-7}}; section B.
*{{citation |first=I. N. |last=Herstein |title=Abstract Algebra |year=1986 |publisher=Macmillan Publishing Company |place=New York |isbn=0-02-353820-1}}
*[[Øystein Ore]], Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
*{{citation |first=Charles C. |last=Sims |title=Abstract Algebra: A Computational Approach |year=1984 |publisher=John Wiley & Sons |place=New York |isbn=0-471-09846-9}}

[[பகுப்பு:வகுத்தல் (கணிதம்)]]

வகுஎண் - திருத்த வரலாறு

09:46, 19 மே 2026 இல் Ruban

imported>AntanO: removed Category:எண்கள் using HotCat