நாற்கரம்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

நாற்கரங்கள் எளிமையானவையாக (தன்னைத் தானே வெட்டிக்கொள்ளாதவை) அல்லது சிக்கலானவையாக (தன்னைத் தானே வெட்டிக்கொள்கிற) இருக்கலாம்.

 

எளிமையான நாற்கரங்கள் [[குவிவுப் பல்கோணம்|குவிந்த]] நாற்கரங்களாகவோ அல்லது குழிந்த நாற்கரங்களாகவோ இருக்கக் கூடும். குவிந்த நாற்கரங்கள் பின்வரும் வகைகளாகப் பிரிக்கப்படும்:

 

* [[சரிவகம்]] (Trapezium): ஒரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று இணையானவை.

 

[[படிமம்:Quadrilateral_t.png]]

 

குழிந்த நாற்கரத்தில் ஒரு உட்கோணம் 180° விட அதிகமாக இருக்கும். மேலும் இரண்டு மூலைவிட்டங்களில் ஒன்று நாற்கரத்துக்கு வெளிப்புறத்தில் இருக்கும்.

 

 

தன்னைத்தானே வெட்டிக்கொள்ளும் நாற்கரம், சிக்கலான நாற்கரம் எனப்படும். இது ''குறுக்கு-நாற்கரம்'' என்றும் அழைக்கப்படும். ஒரு குறுக்கு நாற்கரத்தின் குறுக்குக்கு ஒரே பக்கத்தில் அமையும் (இடப்புறம் அல்லது வலப்புறம்) நான்கு உட்கோணங்களின் (2 குறுங்கோணம், 2 [[கோணம்#பின்வளை கோணம்|பின்வளை கோணம்]]) கூடுதல் 720° ஆக இருக்கும்.<ref>{{cite web|url=http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/stars.pdf|title=Stars: A Second Look|format=PDF|website=Mysite.mweb.co.za|access-date=March 1, 2022|archive-date=மார்ச் 3, 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160303182521/http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/stars.pdf|url-status=dead}}</ref>

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் குவிந்த நாற்கரம் ''ABCD'' இன் பக்கங்கள்: {{math|''a'' {{=}} ''AB'', ''b'' {{=}} ''BC'', ''c'' {{=}} ''CD'', ''d'' {{=}} ''DA''}}; பரப்பளவு {{math|''K''}}. 　

 

:<math>K = \frac{pq}{2} \sin \theta,</math><ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Quadrilateral|url=https://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html|access-date=2020-09-02|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> {{math|''p''}}, {{math|''q''}} செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள்; அவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் {{math|''θ''}}.<ref>Harries, J. "Area of a quadrilateral," ''Mathematical Gazette'' 86, July 2002, 310–311.</ref>

 

இதில், {{math|''x''}} ஆனது மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரம்; {{math|''φ''}} என்பது இருநடுக்கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்.

 

:<math>K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{ac+bd+pq}{4}(ac+bd-pq)},</math> <ref>J. L. Coolidge, "A historically interesting formula for the area of a quadrilateral", ''American Mathematical Monthly'', 46 (1939) 345–347.</ref>

:இதில் நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}}; [[அரைச்சுற்றளவு]] {{math|''s''}}; மூலைவிட்டங்கள் {{math|''p''}}, {{math|''q''}} வட்ட நாற்கரத்தில் {{math|1=''pq'' = ''ac'' + ''bd''}} ஆக இருக்கும் என்பதால் இது [[பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு]] ஆகச் சுருங்கும்.

:<math>K=\frac{\sqrt{[(p+q)^2-4m^2]\cdot[4m^2-(p-q)^2]}}{4},</math>

 

[[திசையன்|திசையன்களைப்]] பயன்படுத்தி நாற்கரம் {{math|''ABCD''}} இன் பரப்பளவின் வாய்பாடு:

:<math>K = \frac{|\mathbf{AC}\times\mathbf{BD}|}{2},</math> ({{math|'''AC'''}}, {{math|'''BD'''}} திசையன்கள், நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள்)

 

== மூலைவிட்டங்கள் ==

கீழுள்ள அட்டவணையில் சில அடிப்படையான நாற்கரங்களின் மூலைவிட்டங்கள் இருசமக்கூறிடுபவையா, செங்குத்தானவையா அல்லது சமமானவையான எனத் தரப்பட்டுள்ளது.<ref>{{Cite web|url=https://math.okstate.edu/geoset/Projects/Ideas/QuadDiags.htm|title=Diagonals of Quadrilaterals -- Perpendicular, Bisecting or Both|website=Math.okstate.edu|access-date=1 March 2022}}</ref>

 

|}

 

''ABCD'' நாற்கரத்தின் இரு பக்கங்கள், ஒரு மூலைவிட்டம் ஆகியவற்றால் அமையும் முக்கோணங்கள் ஒவ்வொன்றிலும் [[கோசைன் விதி]]யைப் பயன்படுத்தி மூலைவிட்டங்களின் நீளங்களைக் காணலாம்:

:<math>p=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos{B}}=\sqrt{c^2+d^2-2cd\cos{D}}</math>

:<math>q=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos{A}+\cos{C})}{ad+bc}}.</math>

 

எந்தவொரு குவிவு நாற்கரத்திலும் அதன் நான்கு பக்க நீளங்களின் வர்க்கங்ளின் கூட்டுத்தொகையானது, அதன் மூலைவிட்ட நீளங்களின் வர்க்கங்கள், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தின் வர்க்கத்தின் நான்கு மடங்கு இவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும். அதாவது குவிவு நாற்கரம் ''ABCD'' எனில்:

:<math> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = p^2 + q^2 + 4x^2 </math> இதில், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நீளம் ''x''.<ref name=Altshiller-Court/>{{rp|p.126}} இம்முடிவானது [[ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றம்]] என அறியப்படுவதோடு, [[இணைகர விதி]]யின் பொதுமைப்படுத்தலுமாக உள்ளது.

 

== சமனிலிகள் ==

குவிவு நாற்கரத்தின் பக்க நீளங்கள் ''a'', ''b'', ''c'', ''d''; மூலைவிட்டங்கள் ''p'', ''q'' எனில் பரப்பளவு ''K'' நிறைவு செய்யும் சமனிலிகள்:<ref>O. Bottema, ''Geometric Inequalities'', Wolters–Noordhoff Publishing, The Netherlands, 1969, pp. 129, 132.</ref>

:<math>K\le \tfrac{1}{4}(a+c)(b+d)</math> [[செவ்வகம்|செவ்வகத்துக்கு]] மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.

:<math> K \leq \frac{1}{3+\sqrt{3}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)- \frac{1}{2(1+\sqrt{3})^2}(a^2+b^2+c^2+d^2) </math><ref>{{cite journal|author1=Leonard Mihai Giugiuc|author2=Dao Thanh Oai|author3=Kadir Altintas|title=An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral|journal=International Journal of Geometry|volume=7|date=2018|pages=81–86|url=https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2018/04/81-86.pdf|format=PDF}}</ref> சதுரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.

 

ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றத்தின் கிளைமுடிவுச் சமனிலி:

:<math> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge p^2 + q^2 ,</math> இணைகரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.

:<math>pq \leq m^2+n^2,</math> மூலைவிட்டங்கள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே, சமக்குறி பொருந்தும்.<ref name=J2014>{{cite journal |last=Josefsson |first=Martin |title=Properties of equidiagonal quadrilaterals |journal=Forum Geometricorum |volume=14 |year=2014 |pages=129–144 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412index.html }}</ref>{{rp|Prop.1}} <math>m^2+n^2=\tfrac{1}{2}(p^2+q^2).</math> முற்றொருமையிலிருந்து இச்சமனிலி நேரிடையாகப் பெறப்படுகிறது.

 

நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' நிறைவுசெய்யும் சமனிலிகள்:

:<math>a^2+b^2+c^2 > \frac{d^2}{3}</math><ref name=Crux>{{cite web|url=http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf|format=PDF|title=Inequalities proposed in ''Crux Mathematicorum'' (from vol. 1, no. 1 to vol. 4, no. 2 known as "Eureka")|website=Imomath.com|access-date=March 1, 2022}}</ref>{{rp|p.228,#275}}