பரவற்படி: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

பரவற்படி, Var(''X''), <math>\scriptstyle\sigma_X^2</math> அல்லது சுருக்கமாக, σ² (வாசிப்பு:சிக்மா ஸ்கொயர்ட்) எனக் குறிக்கப்படுகிறது. பரவற்படியின் வரையறையைக் கீழ்க்கண்டவாறு விரிக்கலாம்:

:<math>\begin{align}

&= \operatorname{E}\left[X^2 \right] - (\operatorname{E}[X])^2

\end{align}</math>

 

 

தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி ''X'' இன் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு ''f''(''x'') எனில் அதன் பரவற்படி:

[[கோஷியின் பரவல்]] போன்று எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு கொண்டிராத தொடர் பரவலுக்கு பரவற்படியும் இருக்காது. மேலும் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு கொண்டிராத வேறுபல பரவல்களுக்கு பரவற்படியின் வாய்ப்பாட்டிலுள்ள தொகையீடு விரிவதால், பரவற்படி முடிவுறு எண்ணாக இருக்காது.

 

 

தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி ''X'' இன் [[நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு]] ''x''₁&nbsp;↦&nbsp;''p''₁,&nbsp;...,&nbsp;''x''_''n''&nbsp;↦&nbsp;''p''_''n'' எனில் அதன் பரவற்படி:

==எடுத்துக்காட்டுகள்==

 

[[இயல்நிலைப் பரவல்]] μ மற்றும் σ வைப் பண்பளவைகளாகக் கொண்ட தொடர் பரவலாகும். இப்பரவலின் [[நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு]]:

:<math>

புள்ளியியலிலும் நிகழ்தகவிலும் பரவற்படி காணப்படுவதற்குக் காரணம் [[மைய எல்லைத் தேற்றம்|மைய எல்லைத் தேற்றத்தில்]] இயல்நிலைப் பரவல் ஏற்கும் பங்காகும்.

 

[[அடுக்குக்குறிப் பரவல்]] [0,∞) [[இடைவெளி (கணிதம்)|இடைவெளியில்]] பண்பளவை λ கொண்ட தொடர் பரவல் ஆகும். இப்பரவலின் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு:

 

எனவே அடுக்குறிப் பரவலைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு மாறிக்கு σ² = μ² என அமையும்.

 

[[பாய்சான் பரவல்]] பண்பளவை λ கொண்ட தனித்த பரவலாகும். இப் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:

 

எனவே பாய்சான் பரவலைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு மாறிக்கு, :σ² = μ.

 

[[ஈருறுப்புப் பரவல்]] பண்பளவைகள் ''n'', ''p'' கொண்ட தனித்த பரவல் ஆகும். இப் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:

:<math>p(k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k},</math> (''k'' = 0, 1, 2, ..., ''n'')

:<math> \operatorname{Var}(X) = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} (k-np)^2 = np(1-p),</math>

 

<math>p=0.5</math> கொண்ட ஈருறுப்புப் பரவல் <math>n</math> முறை ஒரு [[நாணயம் சுண்டல்|நாணயத்தைச் சுண்டும்]]போது <math>k</math> முறை ’தலை’ கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைத் தருகிறது.

 

’கிடைக்கும் தலைகளின் எண்ணிக்கை’ என்ற சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரி (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு) <math alt="n/2">\frac{n}{2}</math>, பரவற்படி <math alt="n/4">\frac{n}{4}</math>.

 

ஆறு முகங்கள் கொண்ட சீரான பகடை வீசப்படும்போது கிடைக்கக் கூடிய முடிவுகள் 1, 2, 3, 4, 5, 6. இம் முடிவுகள் கிடைக்கக்கூடிய ஆறு நிகழ்தகவுகளும் சமமானவை ( <math>\textstyle\frac{1}{6}</math>).

 

==பண்புகள்==

 

*எப்பொழுதும் வர்க்கங்கள் சுழி அல்லது எதிர் இல்லா எண்களாக மட்டுமே இருக்கும் என்பதால் பரவற்படி எப்பொழுதும் நேர் எண்ணாகும்.

:<math>\operatorname{Var}(X)\ge 0.</math>

</math>

 

 

*சமவாய்ப்பு மாறிகள் ஒட்டுறவு கொண்டவையாக இருந்தால் அவற்றின் கூடுதலின் பரவற்படி, அவற்றின் உடன்பரவற்படிகளின் கூடுதலாக இருக்கும்:

சாரா சமவாய்ப்பு மாறிகள் எப்பொழுதும் ஒட்டுறவு இல்லாதவை என்பதால் அவற்றுக்கு இப்பண்பு பொருந்தும்.

 

X மற்றும் Y சாரா சமவாய்ப்பு மாறிகள் எனில் அவற்றின் பெருக்குத்தொகையின் பரவற்படி அவற்றின் பரவற்படிகளின் பெருக்குத்தொகையாக அமையும்.<ref>[[Leo Goodman|Goodman, Leo A.]], "On the exact variance of products," ''[[Journal of the American Statistical Association]]'', December 1960, 708–713.</ref><ref>Goodman, Leo A., "The variance of the product of K random variables," ''Journal of the American Statistical Association'', March 1962, 54ff.</ref>