முழு எண்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

 

== இயற்கணிதப் பண்புகள் ==

இயல் எண்களின் கணத்தைப் போன்றே, முழுஎண்களின் கணமும் ('''Z''') [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூட்டல்]] மற்றும் [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]] ஆகிய இரு [[ஈருறுப்புச் செயலி]]களைப் பொறுத்து [[அடைவுப் பண்பு|அடைவு பெற்றது]] ஆகும். அதாவது இரு முழுஎண்களின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கற்பலன் இரண்டும் முழுஎண்களாகவே இருக்கும்.  {{num|0}} மற்றும் எதிர் இயல் எண்கள் உள்ளதால் '''Z''' இல் உள்ளதால் இக் கணம் [[கழித்தல் (கணிதம்)|கழித்தலைப்]] பொறுத்தும் அடைவு பெற்றுள்ளது.

 

ஆனால் இரு முழுஎண்களை ஒன்றை மற்றொன்றால் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் எண் முழுஎண்ணாக இருக்கவேண்டியதில்லை என்பதால் [[வகுத்தல் (கணிதம்)|வகுத்தலைப்]] பொறுத்து முழுஎண்கள் கணம் அடைவு பெறவில்லை. இதேபோல, [[அடுக்கேற்றம்|அடுக்கேற்றத்தைப்]] பொறுத்தும் முழுஎண்கள் கணம் அடைவுபெறவில்லை.

 

''a'', ''b'' மற்றும் ''c'' ஆகிய மூன்று முழுஎண்களுக்குக் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்களைப் பொறுத்த அடிப்படைப் பண்புகள் கீழுள்ள அட்டவணையில் தரப்பட்டுள்ளன:

{|class="wikitable"

|}

 

மேலே தரப்பட்டுள்ள அட்டவணயின் படி ஈருறுப்புச் செயலியான கூட்டலைப் பொறுத்து, '''Z''' ஆனது அடைவுப் பண்பு, சேர்ப்புப் பண்பு, முற்றொருமை உறுப்பு இருத்தல், நேர்மாறு உறுப்பு இருத்தல், பரிமாற்றுப் பண்பு ஆகிய ஐந்து பண்புகளையும் நிறைவு செய்கிறது. எனவே ('''Z, +''') ஒரு [[ஏபெல் குலம்|ஏபெல் குலமாகிறது]].

 

[[சுழி]]யற்ற ஒவ்வொரு முழுஎண்ணையும் {{nowrap|1 + 1 + ⋯ + 1}} அல்லது {{nowrap|(−1) + (−1) + ⋯ + (−1)}} என்ற முடிவுறுக் கூட்டல் வடிவில் எழுதமுடியும் என்பதால் ('''Z, +''') ஒரு [[சுழற் குலம்|சுழற் குலமாகவும்]] உள்ளது. உண்மையில் முடிவிலி சுழற்குலமாக அமைவது ('''Z, +''') மட்டுமே. ஏனென்றால் வேறு ஏதாவது முடிவிலி சுழற்குலங்கள் இருந்தாலும், அவை ('''Z, +''') உடன் [[குலச் சமஅமைவியம்]] கொண்டவையாய் அமையும்.

 

*[[குலம் (கணிதம்)|குலமாவதற்குத்]] தேவையான நான்கு பண்புகளில் முதல் மூன்று பண்புகளைக் கொண்டிருந்தாலும், நான்காவது பண்பான பெருக்கலுக்கான பொறுத்த நேர்மாறு உறுப்புகள் இல்லாமையால் ('''Z, x''') குலம் ஆகாது.

*பெருக்கலைப் பொறுத்து அடைவுப் பண்பு, சேர்ப்புப் பண்பு, முற்றொருமை உறுப்பு இருத்தல் ஆகிய மூன்று பண்புகளையும் நிறைவு செய்வதால், ('''Z, x''') ஒரு [[ஒற்றைக்குலம்]] ஆகிறது. மேலும் இம் மூன்று பண்புகளுடன் பெருக்கலைப் பொறுத்த பரிமாற்றுப் பண்பும் நிறைவு செய்யப்படுவதால் ('''Z, x''') ஒரு '''பரிமாற்று ஒற்றைக்குலம்''' ஆகும்.

 

*('''Z, +''') ஏபெல் குலமாகவும், ('''Z, x''') ஒற்றைக்குலமாகவும் மேலும் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலைப் பொறுத்த [[பங்கீட்டுப் பண்பு]]ம் (<math> a*(b + c) = a*b + a*c</math>, <math>(a + b)*c = a*c + b*c</math>)

நிறைவு பெறுவதால் முழுஎண்களின் கணம் ('''Z, +, x''') ஒரு [[வளையம் (கணிதம்)|பரிமாற்று வளையம்]] ஆகும்.