வகையிடல்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

''x'' இல் ஏற்படும் மாற்றத்தைப் பொறுத்து ''y'' இன் மாறுவீதத்தைக் கணக்கிடும் முறையே '''வகையிடுதல்''' ஆகும். இந்த மாறுவீதத்தின் அளவு, ''x'' ஐப் பொறுத்த ''y'' இன் '''வகைக்கெழு''' ஆகும். ''x'' , ''y'' இரண்டும் [[மெய்யெண்]]கள் எனில், ''f'' இன் வரைபட வளைவரையில் அமையும் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் காணப்படும் வகைக்கெழுவானது அப்புள்ளிகளில் வளைவரைக்கு வரையப்படும் தொடுகோட்டின் சாய்வுக்குச் சமமாக அமையும்.

 

 

''f'' ஒரு [[நேரியல் சார்பு]] எனில் அதன் [[சார்பின் வரைபடம்|வரைபடம்]] ஒரு [[கோடு|கோடாக]] இருக்கும்.

''f'' நேரியல் சார்பல்ல எனில் வரைபடம் நேர்கோடாக இருக்காது, மாறுவீதமும் வேறுபடும்.

 

{{multiple image

| align = right

: <math> \frac{dy}{dx} \,\!</math>

 

''f'' ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு எனில் செவ்வடிவவியலில் (classical geometry) அச்சார்பின் வரைபட வளைவரை மீதுள்ள ஒரு புள்ளியில் அவ்வளைவரைக்கு வரையப்படும் தொடுகோடு தனித்தன்மையானது. மேலும் அத்தொடுகோடு வளைவரையை வேறு எந்தப் புள்ளியிலும் குறுக்காகச் சந்திக்காது. அதாவது தொடுகோடு வரைபடத்தினூடாக நேராகச் செல்லாது.

 

இந்த எல்லை மதிப்புக் காண முடிந்தால், ''a'' புள்ளியில் சார்பு ''f'' [[வகையிடத்தக்கச் சார்பு|வகையிடத்தக்கது]]. இங்கு ''f''&prime; (''a'') என்பது வகைக்கெழுவின் குறியீடுகளுள் ஒன்று.

 

வர்க்கச் சார்பு <math> f(x) = x^2 </math> வகையிடத்தக்கது. ''x'' = 3 புள்ளியில் அதன் வகைக்கெழு 6.

 

:<math>f'(a) = 2a </math> .

 

''f'' ஒரு வகையிடக்கூடிய சார்பு, மேலும் அதன் வகைக்கெழு ''f&prime;(x)'' எனில்:

 

''x''(''t'') இன் ''t'' ஐப் பொறுத்த முதல் வகைக்கெழு அத்துகளின் திசைவேகத்தையும், இரண்டாம் வகைக்கெழு அத்துகளின் முடுக்கத்தையும், மூன்றாம் வகைக்கெழு அத்துகளின் திடுக்கத்தையும் குறிக்கும்.

 

 

{{முதன்மை|வளைவுமாற்றுப் புள்ளி}}

{{முதன்மை|வகையிடலின் குறியீடு}}

 

{{முதன்மை|லைப்னிட்சின் குறியீடு}}

 

: <math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math>

 

[[ஜோசப் லூயி லாக்ராஞ்சி|லாக்ராஞ்சியால்]] அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட இம்முறையே தற்காலத்தில் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

 

வகையிடலை ஒரு சார்பாகக் கருதும்போது லைபினிட்சின் குறியீட்டை விட இக்குறியீடு பொருத்தமானதாகவும் வசதியானதாகவும் இருக்கும்.

 

வகையிடலுக்கு [[ஐசாக் நியூட்டன்|நியூட்டன்]] அறிமுகப்படுத்திய குறியீட்டில் ஒரு சார்பின் நேரத்தைப் பொறுத்த முதல் வகைக்கெழுவைக் குறிக்க அச்சார்பின் பெயர் மீது ஒரு புள்ளியும் இரண்டாம் வகைக்கெழுவைக் குறிக்க இரண்டு புள்ளிகளும் இடப்படுகின்றன.

 

இரண்டும் முறையே, ''t'' ஐப் பொறுத்த ''y'' இன் முதல் மற்றும் இரண்டாம் வகைக்கெழுக்களைக் குறிக்கின்றன. உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்களுக்கு இக்குறியீடு பொருத்தமானதாக இல்லை. இக்குறியீடு, வழக்கமாக இயற்பியலிலும் அதோடு தொடர்புடைய கணிதப் பிரிவான வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

 

வகையிடலில் [[லியோனார்டு ஆய்லர்|ஆய்லரின்]] குறியீடு, ''D'' என்னும் வகையீட்டுச் செயலியைக் கொண்டுள்ளது. இக்குறியீட்டின்படி, சார்பு ''f'' இன் முதல்வகைக்கெழு ''Df'', இரண்டாம் வகைக்கெழு ''D''²''f'', .... ''n'' ஆம் வகைக்கெழு ''D''^''n''''f''.

 

ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவை, அதன் வேறுபாட்டு ஈவைக் கண்டுபிடித்துப் பின் அதன் எல்லையாகக் காணலாம். இம்முறையில் சில எளிய சார்புகளின் வகைக்கெழுக்களைக் கண்டுபிடித்த பின் அவற்றையும் வகையிடலின் சில விதிகளையும் பயன்படுத்திப் பெரும்பான்மையான சார்புகளின் வகைக்கெழுக்களை எளிதாகக் காணமுடியும்.

 

 

பெரும்பாலான சார்புகளை வகையிவதற்கு சில அடிப்படைச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள் தேவைப்படுகிறது. அவ்வாறு தேவைப்படும் ஒரு மாறியில் அமைந்த சார்புகளும் அவற்றின் வகைக்கெழுக்களும் கீழே தரப்பட்டுள்ளன. (முழுமையானது அல்ல)

:<math> \frac{d}{dx}\arctan(x)= \frac{1}{{1+x^2}}.</math>

 

{{முதன்மை|வகையிடல் விதிகள்}}

 

:<math>f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x). \,</math> -''h'' , ''g'' வகையிடத்தக்க சார்புகள்

 

 

: <math>f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\,</math> எனில்:

 

== மேற்கோள்கள் ==

{{Refbegin}}

* கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 62-97. http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121120103542/http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm |date=2012-11-20 }}

{{Refend}}

 

{{Refbegin}}

* {{Citation

{{Refend}}

 

* {{springer|title=Derivative|id=p/d031260}}

* [[Khan Academy]]: [http://www.khanacademy.org/video/calculus--derivatives-1--new-hd-version?playlist=Calculus Derivative lesson 1] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111224172746/http://www.khanacademy.org/video/calculus--derivatives-1--new-hd-version?playlist=Calculus |date=2011-12-24 }}