நீக்கல் பண்பு

கணிதத்தில், நீக்கற்தன்மை அல்லது நீக்கல் பண்பு (cancellativity, cancellability, cancellation property) என்பது நேர்மாற்றத்தக்கதன்மையின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

(M, ∗) என்றதொரு குலமனின் ஏதேனுமொரு உறுப்பு $a$ என்க.

$\mathrm{\forall }b,c\in M,a*b=a*c⟹b=c$ எனில்

உறுப்பு a ஆனது, இடது நீக்கல் பண்பு கொண்டது அல்லது இடப்பக்க-நீக்கற்தன்மை உடையது எனப்படும்.

மேலும்,

$\mathrm{\forall }b,c\in M,b*a=c*a⟹b=c$ எனில்

உறுப்பு a ஆனது, வலது நீக்கல் பண்பு கொண்டது அல்லது வலப்பக்க-நீக்கற்தன்மை உடையது எனப்படும்.

குலமனின் உறுப்பு a ஆனது, இடது நீக்கல் பண்பு, வலது நீக்கல் பண்பு இரண்டையும் கொண்டிருந்தால் அது இருபக்க நீக்கல் பண்பு (two-sided cancellation property) உடையது அல்லது நீக்கத்தக்கது (cancellative) எனப்படும்.

ஒரு குலமனின் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் இடது நீக்கல் பண்பிருந்தால் அக்குலமன் இடது நீக்கல் பண்புடையது அல்லது இடது-நீக்கத்தக்கது என அழைக்கப்படும். அதேபோல, ஒரு குலமனின் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் வலது நீக்கல் பண்பிருந்தால் அக்குலமன் வலது நீக்கல் பண்புடையது அல்லது வலது-நீக்கத்தக்கது என அழைக்கப்படும்.

வலது, இடது நீக்கத்தன்மை இரண்டுமுடைய குலமன் இருபக்க நீக்கல் பண்புடையது அல்லது நீக்கத்தக்கது எனப்படும்.

ஓர் அரைக்குலத்தில், இடப்பக்க-நேர்மாற்றத்தக்கதாகவுள்ள ஒவ்வோரு உறுப்பும் இடப்பக்க-நீக்கற்தன்மை உடையதாகும்; வலப்பக்க, இருபக்கப் பண்புகளுக்கும் இது பொருந்தும். a இன் இடப்பக்க நேர்மாறு a⁻¹ எனில்,

a ∗ b = a ∗ c

$⟹$ a⁻¹ ∗ (a ∗ b) = a⁻¹ ∗ (a ∗ c),

$⟹$ b = c (சேர்ப்புப் பண்பின்படி)

ஒவ்வொரு பகுதி குலமும் நீக்கத்தக்கதாக இருக்கும். எனவே ஒவ்வொரு குலமும் நீக்கல் பண்புடையது.

விளக்கம்

(M, ∗) என்ற குலமனின் உறுப்பு a ஆனது, இடது நீக்கல் பண்பு கொண்டுள்ளது என்பது, g : x ↦ a ∗ x என்ற சார்பானது ஒரு உள்ளிடு கோப்பாக இருக்குமென்பதைக் குறிக்கிறது.

அதாவது சார்பு g ஒரு உள்ளிடு கோப்பு எனில்,

a ∗ x = b சமன்பாட்டிலுள்ள மாறி x மட்டுமேயாகவும், அச்சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யக்கூடிய வகையான x இன் மதிப்பு ஒன்றேயொன்று மட்டுமாகவும் இருக்கும்.

மேலும் நுட்பமாக இதனைப் பின்வருமாறு விளக்கலாம்:

x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும்,

f(g(x)) = f(a ∗ x) = x என்பதை நிறைவுசெய்யும் வகையில் g இன் நேர்மாறாக f சார்பை வரையறுக்க முடியும்.

இதனையே கீழ்வருமாறும் கூறலாம்:

M இலுள்ள அனைத்து x , y உறுப்புகளுக்கும்,

a * x = a * y எனில், x = y ஆகும்.

(M, ∗) என்ற குலமனின் உறுப்பு a ஆனது, வலது நீக்கல் பண்பு கொண்டுள்ளது என்பது, h : x ↦ x ∗ aஎன்ற சார்பானது ஒரு உள்ளிடு கோப்பாக இருக்குமென்பதைக் குறிக்கிறது.

அதாவது சார்பு h ஒரு உள்ளிடு கோப்பு எனில்,

M இலுள்ள அனைத்து x , y உறுப்புகளுக்கும்,

x * a = y * a, எனில் x = y ஆக இருக்கும்.

நீக்கல் பண்புடைய ஒற்றைக்குலமும் அரைக்குலமும்

நேர்ம முழுஎண்கள் கணமானது கூட்டல் செயலியைப் பொறுத்து நீக்கல் பண்புடைய ஓர் அரைக்குலம்; இதேபோல எதிர்மமற்ற முழு எண்களும் கூட்டலைப் பொறுத்து நீக்கல் பண்புடைய ஓர் அரைக்குலமாகும். எதிர்மமற்ற முழு எண்களும் கூட்டலைப் பொறுத்து நீக்கல் பண்புடைய ஓர் ஒற்றைக்குலமாகும்.

நேர்ம முழுஎண்கள் கணமும் எதிர்மமற்ற முழுஎண்கள் கணமும் கூட்டலைப் பொறுத்து நீக்கல் பண்புகொண்ட குலமன்களாகவும் அமைகின்றன. ஆனால் அவை பகுதி குலங்கள் அல்ல.

அனைத்து கட்டற்ற அரைக்குலங்களும் ஒற்றைக்குலங்களும் நீக்கல் பண்பைக் கொண்டிருக்கும். பொதுவாக, ஒரு குலத்துக்குள் அடங்கும் எந்தவொரு அரைக்குலமும் ஒற்றைக்குலமும் (மேலேயுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள்) நீக்கல் பண்பு உடையதாகவே இருக்கும்.

ஒரு வளையத்தின் சுழியற்ற வகுஎண் உறுப்புகளைக் கொண்டமையும் பெருக்கல் அரைக்குலமானது நீக்கல் பண்புடையது. எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வளையம் பரிமாற்றத் தக்கதல்லாததாகவோ, அலகு உறுப்பு இல்லமலோ இருந்தாலும் மேற்கூறியது உண்மையாக இருக்கும்.

நீக்கல் பண்பு இல்லாத இயற்கணித அமைப்புகள்

சுழியால் பெருக்கல், வகுத்தல் நீங்கலாக , கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் ஆகிய செயல்களைப் பொறுத்து மெய்யெண்கள் கணமும் சிக்கலெண்கள் கணமும் நீக்கல் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. இருப்பினும் நீக்கல் பண்பு இல்லாத இயற்கணித அமைப்புகளும் உள்ளன.

• இரு திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கல் செயலுக்கு திசையன்களின் கணத்தில் நீக்கல் பண்பு கிடையாது.

a × b = a × c எனில், b = c ஆக இருக்காது. (a ≠ 0 ஆக இருந்தாலும் கூட)

• அணிப்பெருக்கல் செயல் நீக்கல் பண்பை நிறைவு செய்வதில்லை

AB = AC; A ≠ 0 எனும்போது B = C ஆக இருக்க வேண்டுமானால் A அணியானது நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்க வேண்டும்.

AB = CA; A ≠ 0 எனும்போது, அணி A நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தாலும் B = C. என்பது உண்மையாக இருக்கவேண்டியதில்லை.

A அணி நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால்,

AB = AC; BA = CA ஆகிய இரு கூற்றுகளுக்கு மட்டுமே நீக்கல் பண்பு அமையும்.

AB = CA; BA = AC இவ்விரண்டுக்கும் நீக்கல் பண்பு அமையாது.